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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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10. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de ff.
a) f(x)=x4e−xf(x)=x^{4} e^{-x}

Respuesta

Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.
1. Primero hallamos el dominio de la función


Tanto la función polinómica como la función exponencial están definidos para todos los números reales.
Por lo tanto, el dominio de f(x) f(x) es:

Dom(f)=R \text{Dom}(f) = \mathbb{R}


2. Calculamos la derivada de la función

f′(x)=(x4)′e−x+x4(e−x)′ f'(x) = (x^4)' e^{-x} + x^4 (e^{-x})'

f′(x)=4x3e−x−x4e−x f'(x) = 4x^3 e^{-x} - x^4 e^{-x}

f′(x)=e−x(4x3−x4) f'(x) = e^{-x} (4x^3 - x^4)

f′(x)=e−xx3(4−x) f'(x) = e^{-x} x^3 (4 - x)


3. Buscamos los puntos críticos:

  3.1. Buscamos los valores del dominio de ff donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:

El Domf=Domf′Domf=Domf'. No obtuvimos puntos críticos de acá.


  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
f′(x)=e−xx3(4−x)=0 f'(x) = e^{-x} x^3 (4 - x) = 0
La exponencial e−x e^{-x} nunca es cero, por lo que los puntos críticos se encuentran cuando:

x3(4−x)=0 x^3 (4 - x) = 0
Tenemos dos soluciones:

x3=0  ⟹  x=0 x^3 = 0 \implies x = 0

4−x=0  ⟹  x=4 4 - x = 0 \implies x = 4


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Evaluamos la derivada f′(x) f'(x) en cada intervalo:
-> Para x x en Intervalo (−∞,0) (-\infty, 0) : f′(−1)=e1(−1)3(4−(−1))=e1(−1)(5)<0 f'(-1) = e^{1} (-1)^3 (4 - (-1)) = e^1 (-1) (5) < 0 . Es decir que ff decrece.

-> Para x x en Intervalo  (0,4) (0, 4) : f′(1)=e−1(1)3(4−1)=e−1(1)(3)>0 f'(1) = e^{-1} (1)^3 (4 - 1) = e^{-1} (1) (3) > 0 . Es decir que ff crece.

-> Para x x en Intervalo (4,+∞) (4, +\infty) : f′(5)=e−5(5)3(4−5)=e−5(125)(−1)<0 f'(5) = e^{-5} (5)^3 (4 - 5) = e^{-5} (125) (-1) < 0 . Es decir que ff decrece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos 
Los puntos x=0 x = 0 y x=4 x = 4 son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> x=0 x = 0 : Es un mínimo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de negativo a positivo.

-> x=4 x = 4 : Es un máximo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de positivo a negativo.
Podemos hallar las coordenadas de los extremos sustituyendo x=0 x = 0 y x=4 x = 4 en f(x) f(x) :
f(0)=04e−0=0 f(0) = 0^4 e^{-0} = 0

f(4)=44e−4=256e−4 f(4) = 4^4 e^{-4} = 256 e^{-4}



Respuesta:
Dominio: R \mathbb{R}

Intervalos de crecimiento: (0,4) (0, 4)

Intervalos de decrecimiento: (−∞,0)∪(4,+∞) (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)

Mínimo relativo en x=0 x = 0 , con coordenadas (0,0) (0, 0)

Máximo relativo en x=4 x = 4 , con coordenadas (4,256e−4) (4, 256e^{-4})
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Mallo
1 de noviembre 15:53
hola profe, una pregunta cuando nos dice extremos locales de f a que hace referencia? no me acuerdo, muchas gracias
0 Responder
Julieta
PROFE
8 de noviembre 9:40
@Mallo Hola! Buscá el video de estudio de funciones con la derivada :) 
0 Responder
Abigail
10 de octubre 11:06
profe y si dejo la derivada en el paso de e-x(4x a la 3 x x a la cuarta) esta bien, no? y si es asi, como sacaria los ceros de esta funcion?
0 Responder
Julieta
PROFE
15 de octubre 9:58
@Abigail Hola, sí, podrías dejarla así. Y procederías de la misma manera, igualando la función a cero y despejando las x.
0 Responder
Daniela
17 de junio 15:46
hola juli porque al derivar, siendo un producto queda restando? no qedaria (4 + x)
1 Responder
Franco
18 de junio 1:22
@Daniela buenass,  estaba por preguntar lo mismo y me di cuenta que es porque hay que usar la regla de la cadena en e^-x porque es una funcion compuesta; al usarla te queda -e^-x
0 Responder
Fernando
20 de junio 19:04
@Daniela No creo que use regla de la cadena. Está utilizando la regla de producto.  Lo que no entiendo es porque el cambio de signo... pero cuando lo resolví yo lo puse con el signo + y queda  e^-x(4x^3+x^4) después sacando factor común de nuevo queda e^-x. x^3(4 +x) 
0 Responder
N
5 de junio 11:27
Porqué 4 y 0 son Máximos? Cuando yo los reemplazo en la derivada no cambian de signo; me da punto de inflexión 
0 Responder
Julieta
PROFE
8 de junio 13:44
@N Hola, no son máximos, uno es un mínimo y el otro un máximo. Revisá las cuentas
0 Responder