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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Calcular aplicando el método de sustitución.
a) $\int \frac{x}{x^{2}+1} dx$
a) $\int \frac{x}{x^{2}+1} dx$
Respuesta
Recordá ver los videos de sustitución para entender los ejercicios.
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Usamos la sustitución \(u = x^2 + 1\). Entonces, \(du = 2x \, dx\), y \(dx = \frac{du}{2x}\).
Sustituimos \(x^2 + 1\) por \(u\) y \(dx\) por \(\frac{du}{2x}\):
$
\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2u} \, du
$
$
\int \frac{1}{2u} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C
$
Sustituimos \(u\) por \(x^2 + 1\):
$
\frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C
$
Por lo tanto, la solución es:
$
\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C
$