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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Calcular aplicando el método de sustitución.
h) $\int \frac{4 x^{3}+6 x^{2}}{3 x^{4}+6 x^{3}-9} dx$
h) $\int \frac{4 x^{3}+6 x^{2}}{3 x^{4}+6 x^{3}-9} dx$
Respuesta
Usamos la sustitución \(u = 3x^4 + 6x^3 - 9\). Entonces, \(du = (12x^3 + 18x^2) \, dx\), y \(dx = \frac{du}{12x^3 + 18x^2}\).
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\int \frac{4x^3 + 6x^2}{3x^4 + 6x^3 - 9} \, dx = \int \frac{4x^3 + 6x^2}{u} \, \frac{du}{12x^3 + 18x^2}
$
Ahora bien, fijate que puedo sacar factor común 3 en el denominador y me quedaría la misma expresión en numerador y denominador. Sí, cuando todo se parece demasiado intentá sacar factor común ¡Esa es la clave! Y generalmente te lo toman así, con casos donde tenés polinominios en el numerador y denominador.
¡Sigamos!
$\int \frac{4x^3 + 6x^2}{u} \, \frac{du}{3(4x^3 + 6x^2)} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u}$
$
\frac{1}{3} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{3} \ln|u| + C
$
Sustituimos \(u\) por \(3x^4 + 6x^3 - 9\):
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\frac{1}{3} \ln|3x^4 + 6x^3 - 9| + C
$