Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

Anterior Siguiente
3. Calcular aplicando el método de integración por partes.
c) ∫x2e−xdx\int x^{2} e^{-x} dx

Respuesta

Elegimos f(x)=x2 f(x) = x^2 y g′(x)=e−x g'(x) = e^{-x} . Entonces, f′(x)=2x f'(x) = 2x y g(x)=−e−x g(x) = -e^{-x} .
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫x2e−x dx=x2(−e−x)−∫2x(−e−x) dx \int x^2 e^{-x} \, dx = x^2 (-e^{-x}) - \int 2x (-e^{-x}) \, dx
=−x2e−x+2∫xe−x dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} \, dx

En el segundo termino no se puede resolver directamente y tenés que volver a aplicar por partes en ∫xe−x dx \int x e^{-x} \, dx Ay qué emoción...🙄 jajaja:
Elegimos f(x)=x f(x) = x y g′(x)=e−x g'(x) = e^{-x} . Entonces, f′(x)=1 f'(x) = 1 y g(x)=−e−x g(x) = -e^{-x} .
∫xe−x dx=x(−e−x)−∫1(−e−x) dx \int x e^{-x} \, dx = x (-e^{-x}) - \int 1 (-e^{-x}) \, dx
=−xe−x+∫e−x dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx
=−xe−x−e−x = -x e^{-x} - e^{-x}
=−(x+1)e−x = -(x+1) e^{-x}



Listo, ahora reemplazamos esta última integral en la anterior:
$ -x^2 e^{-x} + 2 \left[ -(x+1) e^{-x}] +C $


Fijate que el "+C" lo agregamos una vez que unímos toda la respuesta y ya está integrado todo, o sea lo hacés al final.




Listo!! Podés dejar el resultado así. O seguir operando para obtener otra expresión equivalente. Pero si en un examen llegaste hasta acá ¡está excelente!


$ -x^2 e^{-x} + 2 \left[ -(x+1) e^{-x}] +C$


Para seguir operando, distribuimos el 2:

=−x2e−x−2(x+1)e−x+C = -x^2 e^{-x} - 2(x+1) e^{-x} + C


Y ahora distribuimos el 2e−xen(x+1)2e^{-x} en (x+1) (sí, estoy operando en el segundo término)
=−x2e−x−2xe−x−2e−x+C = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C

Por lo tanto, la respuesta es:
∫x2e−x dx= −x2e−x−2xe−x−2e−x+C \int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Fernando
25 de junio 20:02
2024-06-25%2020:01:48_4251478.png
por que el - de la formula pasa a +? 
0 Responder
Julieta
PROFE
9 de julio 15:45
@Fernando Hola Fer, porque el - que está en el paréntesis del (−e−x)(-e^{-x}) puede salir fuera de la integral como −1-1, y como ya hay un menos se multiplican. Por la regla de los singos te da positivo.
0 Responder
Benja
25 de junio 18:05
Hola juli, tengo una duda. ¿Por qué al integrar g’ al principio del ejercicio nos queda la misma exponencial pero negativa?
0 Responder
Julieta
PROFE
9 de julio 15:46
@Benja Hola Benja, eso es por la regla de la cadena. Integrá e−xe^{-x} y vas a ver que llegas a eso.
0 Responder