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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcular aplicando el método de integración por partes.
d) $\int x^{2} \sin(x) dx$
d) $\int x^{2} \sin(x) dx$
Respuesta
Elegimos \( f(x) = x^2 \) y \( g'(x) = \sin(x) \). Entonces, \( f'(x) = 2x \) y \( g(x) = -\cos(x) \).
Reportar problema
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
$ \int x^2 \sin(x) \, dx = x^2 (-\cos(x)) - \int 2x (-\cos(x)) \, dx $
$ = -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) \, dx $
Y de nuevo vamos a tener que aplicar por partes en a \( \int x \cos(x) \, dx \):
Elegimos \( f(x) = x \) y \( g'(x) = \cos(x) \). Entonces, \( f'(x) = 1 \) y \( g(x) = \sin(x) \).
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
$ \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int 1 \sin(x) \, dx $
$ = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx $
$ = x \sin(x) + \cos(x) + C $
Sustituimos esto en la expresión original:
$ -x^2 \cos(x) + 2 \left( x \sin(x) + \cos(x) \right) + C $
$ = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C $
Por lo tanto,
$ \int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C $