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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Hallar la función $f$ tal que
a) $f'(x)=\frac{4 x^{3}+6 x+2}{x^{4}+3 x^{2}+2 x+1}$ y $f(0)=5$
a) $f'(x)=\frac{4 x^{3}+6 x+2}{x^{4}+3 x^{2}+2 x+1}$ y $f(0)=5$
Respuesta
Tenemos que encontrar la función \( f(x) \) que cumpla la condición inicial \( f(0) = 5 \).
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Fijate que el numerador es la derivada del denominador. Por lo tanto, una gran elección para la sustitución sería:
$ u = x^4 + 3x^2 + 2x + 1 $
$ \frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x + 2 $
$ du = (4x^3 + 6x + 2) \, dx $
Ahora sustituimos en la integral:
$ \int \frac{4x^3 + 6x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2x + 1} \, dx = \int \frac{du}{u} $
La integral de \(\frac{1}{u}\) es:
$ \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C $
Sustituimos \( u \) de nuevo en términos de \( x \):
$ \ln |u| + C = \ln |x^4 + 3x^2 + 2x + 1| + C $
Y ahora vamos a usar el dato \( f(0) = 5 \):
$ f(0) = \ln |0^4 + 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 1| + C = \ln |1| + C = 0 + C = 5 $
Por lo tanto, \( C = 5 \).
Nos queda:
$ f(x) = \ln |x^4 + 3x^2 + 2x + 1| + 5 $