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Vamos a integrar usando el método de sustitución:
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Hallar la función $f$ tal que
b) $f'(x)=x \sqrt{3 x^{2}+9}$ y $f(3)=20$
b) $f'(x)=x \sqrt{3 x^{2}+9}$ y $f(3)=20$
Respuesta
Acá nos dan la derivada $f'$, así que tenemos que hallar la función $f$ integrando la expresión.
$ u = 3x^2 + 9 $
$ \frac{du}{dx} = 6x $
$ du = 6x \, dx $
$ \frac{du}{6} = x \, dx $
Ahora sustituimos en la integral. La integral original es:
$ \int x \sqrt{3x^2 + 9} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6} $
$ = \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \, du $
Ya podemos integrar:
$ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C $
$ \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C $
$ = \frac{1}{9} u^{3/2} + C $
Sustituimos \( u \) de nuevo en términos de \( x \):
$ \frac{1}{9} (3x^2 + 9)^{3/2} + C $
Usamos el dato \( f(3) = 20 \) para obtener $C$:
$ f(3) = \frac{1}{9} (3(3)^2 + 9)^{3/2} + C = 20 $
$ f(3) = \frac{1}{9} (27 + 9)^{3/2} + C = 20 $
$ f(3) = \frac{1}{9} (36)^{3/2} + C = 20 $
$ f(3) = \frac{1}{9} (6^3) + C = 20 $
$ f(3) = \frac{1}{9} \cdot 216 + C = 20 $
$ f(3) = 24 + C = 20 $
$ C = 20 - 24 $
$ C = -4 $
Finalmente nos queda:
$ f(x) = \frac{1}{9} (3x^2 + 9)^{3/2} - 4 $
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