Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Hallar la función $f$ tal que
c) $f'(x)=x e^{x}$ y $f(0)=4$
c) $f'(x)=x e^{x}$ y $f(0)=4$
Respuesta
Vamos a utilizar integración por partes con la formula:
Reportar problema
$ \int f(x) \, g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) \, g(x) \, dx $
Elegimos:
$ f(x) = x $
$ g'(x) = e^x $
Integramos \( g'(x) \):
$ g(x) = \int e^x \, dx = e^x $
Usamos la fórmula:
$ \int x e^x \, dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx $
La integral de \( e^x \) es:
$ \int e^x \, dx = e^x $
Por lo tanto:
$ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C $
$ = e^x (x - 1) + C $
Usamos el dato \( f(0) = 4 \):
$ f(0) = e^0 (0 - 1) + C = -1 + C = 4 $
$ C = 4 + 1 = 5 $
Nos queda entonces:
$ f(x) = e^x (x - 1) + 5 $