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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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6. Para la función f(x)=5xsin⁡(x2)f(x)=5 x \sin\left(x^{2}\right), hallar una primitiva FF que verifique F(0)=1F(0)=1.

Respuesta

Vamos a usar la sustitución:

u=x2 u = x^2

Entonces,

du=2x dx⇒x dx=12 du du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = \frac{1}{2} \, du

Ahora lo sustituimos en la integral:

∫5xsin⁡(x2) dx=∫5sin⁡(u)⋅12 du \int 5x \sin(x^2) \, dx = \int 5 \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du

=52∫sin⁡(u) du = \frac{5}{2} \int \sin(u) \, du
La integral de sin⁡(u) \sin(u) es:

∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u) \int \sin(u) \, du = -\cos(u)
Por lo tanto:

52∫sin⁡(u) du=52(−cos⁡(u))+C \frac{5}{2} \int \sin(u) \, du = \frac{5}{2} (-\cos(u)) + C

=−52cos⁡(u)+C = -\frac{5}{2} \cos(u) + C

Revertimos la sustitución u=x2 u = x^2 :

F(x)=−52cos⁡(x2)+C F(x) = -\frac{5}{2} \cos(x^2) + C
Usamos la condición F(0)=1 F(0) = 1 :

F(0)=−52cos⁡(02)+C=1 F(0) = -\frac{5}{2} \cos(0^2) + C = 1

F(0)=−52cos⁡(0)+C=1 F(0) = -\frac{5}{2} \cos(0) + C = 1

F(0)=−52⋅1+C=1 F(0) = -\frac{5}{2} \cdot 1 + C = 1

−52+C=1 -\frac{5}{2} + C = 1

C=1+52 C = 1 + \frac{5}{2}

C=22+52 C = \frac{2}{2} + \frac{5}{2}

C=72 C = \frac{7}{2}
Nos queda entonces:


F(x)=−52cos⁡(x2)+72 F(x) = -\frac{5}{2} \cos(x^2) + \frac{7}{2}
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