Este ejercicio es horrible. No es algo que suelan tomar mucho pero si el que arma el parcial ese día no durmió bien y está enojado con la vida, puede que te lo tomen, así que vamos a verlo igual. Preparate algo rico para afrontar este mal trago juntos, ah (?

 

Para integrar $(x+2) \sqrt{x+1}$, usamos el método de sustitución. Sea $u = x+1$, entonces $du = dx$. La integral se transforma en:

$\int (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \int (x+2) \sqrt{u} \, du$ 

Hasta ahí todo bien, nadie llora. Peeeeero, ahora tenés $x$ y tenés $u$, y no tenés nada que cancele a esa $x$. No sabés qué caraj@ hacer con esa $x$, no? jajaja pero si la mirás bien, podrías notar que podés reescribir el paréntesis $(x+2)$ como $(x+1+1)$ y adiviná qué.. Sí, $u = x+1$.  Entonces te queda $(x+2)$ como $(x+1+1)$, y así podés escribirlo como $(u+1)$

Por lo tanto, te queda:

Y sí, hay que afinar mucho el ojo y buscar a $u$ con todas tus fuerzas. Pero tranqui, éste tipo de cosas maquiavélicas suelen pasar cuando tenés 2 funciones algebraicas con $x$ del mismo grado. Entonces vos sustituís una pero la otra $x$ te sobrevive. Y generalmente hay alguna vueltita de tuerca, como en este ejercicio para que puedas encontrar la expresión por la que reemplazaste $u$ en esa otra función de $x$. Bueno, mucha cháchara Julieta.. sigamos..

Distribuimos $\sqrt{u}$ dentro de los paréntesis: $\int (u+1) \sqrt{u} \, du = \int (u \sqrt{u} + \sqrt{u}) \, du$

Simplificamos las expresiones: $= \int (u^{3/2} + u^{1/2}) \, du$

Integramos: $= \int u^{3/2} \, du + \int u^{1/2} \, du$ $= \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C$

Reemplazamos $u$ por $x+1$: $\int (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C$

Ahora aplicamos Barrow, y armate de paciencia otra vez, inhalo, exhalo y va: $\int_{0}^{3} (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \left[ \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} \right]_{0}^{3}$ $\left[ \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} \right]_{0}^{3} = \left( \frac{2}{5} (3+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (3+1)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} (0+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (0+1)^{3/2} \right)$ $= \left( \frac{2}{5} (4)^{5/2} + \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} (1)^{5/2} + \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right)$ $= \left( \frac{2}{5} (32) + \frac{2}{3} (8) \right) - \left( \frac{2}{5} (1) + \frac{2}{3} (1) \right)$ $= \left( \frac{64}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \right)$ $= \left( \frac{64}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{6}{15} + \frac{10}{15} \right)$ $= \left( \frac{64}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{16}{15} \right)$ $= \left( \frac{192}{15} + \frac{80}{15} \right) - \left( \frac{16}{15} \right)$ $= \frac{272}{15} - \frac{16}{15}$ $= \frac{256}{15}$ $= \frac{256}{15}$

Un ejercicio del mal, pero bueno, es lo que hay amores. Yo no se los tomaría.