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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
c) ∫π/4π/2cos⁡(u)sin⁡2(u)du\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} du

Respuesta

Primero integramos la función cos⁡(u)sin⁡2(u)\frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)}. Para integrar cos⁡(u)sin⁡2(u)\frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)}, usamos el método de sustitución. Sea v=sin⁡(u)v = \sin(u), entonces dv=cos⁡(u)dudv = \cos(u) du o du=dvcos⁡(u)du = \frac{dv}{\cos(u)}. La integral se transforma en: ∫cos⁡(u)sin⁡2(u) du=∫cos⁡(u)v2⋅dvcos⁡(u)=∫dvv2=∫v−2 dv=−v−1+C\int \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} \, du = \int \frac{\cos(u)}{v^{2}} \cdot \frac{dv}{\cos(u)} = \int \frac{dv}{v^{2}} = \int v^{-2} \, dv = -v^{-1} + C Reemplazamos vv por sin⁡(u)\sin(u): ∫cos⁡(u)sin⁡2(u) du=−1sin⁡(u)+C\int \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} \, du = -\frac{1}{\sin(u)} + C Ahora aplicamos Barrow: ∫π/4π/2cos⁡(u)sin⁡2(u) du=[−1sin⁡(u)]π/4π/2 \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} \, du = \left[ -\frac{1}{\sin(u)} \right]_{\pi / 4}^{\pi / 2} [−1sin⁡(u)]π/4π/2=−1sin⁡(π/2)−(−1sin⁡(π/4)) \left[ -\frac{1}{\sin(u)} \right]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = -\frac{1}{\sin(\pi / 2)} - \left(-\frac{1}{\sin(\pi / 4)}\right) =−11−(−122) = -\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) =−1−(−22) = -1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) =−1+2 = -1 + \sqrt{2} =2−1 = \sqrt{2} - 1 =2−1 = \sqrt{2} - 1
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