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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
d) $\int_{0}^{1}\left(e^{2 x}-e^{-2 x}\right) dx$
d) $\int_{0}^{1}\left(e^{2 x}-e^{-2 x}\right) dx$
Respuesta
Primero integramos la función \(e^{2x} - e^{-2x}\).
Reportar problema
Para integrar \(e^{2x} - e^{-2x}\), integramos cada término por separado.
$\cdot$ Para la integral de \(e^{2x}\):
Usamos el método de sustitución. Sea \(u = 2x\), entonces \(du = 2dx\) o \(dx = \frac{du}{2}\).
La integral se transforma en:
$
\int e^{2x} \, dx = \int e^{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^{u} \, du = \frac{1}{2} e^{u}
$
Reemplazamos \(u\) por \(2x\):
$
\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}
$
$\cdot$ Para la integral de \(e^{-2x}\):
Usamos el método de sustitución. Sea \(v = -2x\), entonces \(dv = -2dx\) o \(dx = \frac{dv}{-2}\).
La integral se transforma en:
$
\int e^{-2x} \, dx = \int e^{v} \cdot \frac{dv}{-2} = -\frac{1}{2} \int e^{v} \, dv = -\frac{1}{2} e^{v}
$
Reemplazamos \(v\) por \(-2x\):
$
\int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x}
$
Ahora, juntamos ambas integrales:
$
\int (e^{2x} - e^{-2x}) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} - \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) + C = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} + C
$
Ahora aplicamos Barrow:
$
\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-2x}) \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{1}
$
Evaluamos en los límites:
$
\left[ \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} e^{2(1)} + \frac{1}{2} e^{-2(1)} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{2(0)} + \frac{1}{2} e^{-2(0)} \right)
$
$
= \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{0} + \frac{1}{2} e^{0} \right)
$
$
= \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} \right) - \left( \frac{1}{2} (1) + \frac{1}{2} (1) \right)
$
$
= \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)
$
$
= \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} - 1
$