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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
d) ∫01(e2x−e−2x)dx\int_{0}^{1}\left(e^{2 x}-e^{-2 x}\right) dx

Respuesta

Primero integramos la función e2x−e−2xe^{2x} - e^{-2x}.
Para integrar e2x−e−2xe^{2x} - e^{-2x}, integramos cada término por separado.
⋅\cdot Para la integral de e2xe^{2x}:
Usamos el método de sustitución. Sea u=2xu = 2x, entonces du=2dxdu = 2dx o dx=du2dx = \frac{du}{2}.
La integral se transforma en:
∫e2x dx=∫eu⋅du2=12∫eu du=12eu \int e^{2x} \, dx = \int e^{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^{u} \, du = \frac{1}{2} e^{u}
Reemplazamos uu por 2x2x:
∫e2x dx=12e2x \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}
⋅\cdot Para la integral de e−2xe^{-2x}:
Usamos el método de sustitución. Sea v=−2xv = -2x, entonces dv=−2dxdv = -2dx o dx=dv−2dx = \frac{dv}{-2}.
La integral se transforma en:
∫e−2x dx=∫ev⋅dv−2=−12∫ev dv=−12ev \int e^{-2x} \, dx = \int e^{v} \cdot \frac{dv}{-2} = -\frac{1}{2} \int e^{v} \, dv = -\frac{1}{2} e^{v}
Reemplazamos vv por −2x-2x:
∫e−2x dx=−12e−2x \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x}
Ahora, juntamos ambas integrales:
∫(e2x−e−2x) dx=12e2x−(−12e−2x)+C=12e2x+12e−2x+C \int (e^{2x} - e^{-2x}) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} - \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) + C = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} + C
Ahora aplicamos Barrow:
∫01(e2x−e−2x) dx=[12e2x+12e−2x]01 \int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-2x}) \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{1}
Evaluamos en los límites:
[12e2x+12e−2x]01=(12e2(1)+12e−2(1))−(12e2(0)+12e−2(0)) \left[ \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} e^{2(1)} + \frac{1}{2} e^{-2(1)} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{2(0)} + \frac{1}{2} e^{-2(0)} \right)
=(12e2+12e−2)−(12e0+12e0) = \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{0} + \frac{1}{2} e^{0} \right)
=(12e2+12e−2)−(12(1)+12(1)) = \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} \right) - \left( \frac{1}{2} (1) + \frac{1}{2} (1) \right)
=(12e2+12e−2)−(12+12) = \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)
=12e2+12e−2−1 = \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{2} e^{-2} - 1  
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