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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
e) $\int_{1}^{4}\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}+x\right) dx$
e) $\int_{1}^{4}\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}+x\right) dx$
Respuesta
Primero integramos la función \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\).
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Para integrar \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\), integramos cada término por separado.
La integral de \(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\):
Para integrar \(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\), usamos la sustitución \(u = \ln x\), entonces \(du = \frac{1}{x} dx\) o \(dx = x \, du\).
La integral se transforma en:
$
\int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C
$
La integral de \(x\):
$
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C
$
Por lo tanto, la integral de \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\) es:
$
\int \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C
$
Ahora aplicamos Barrow:
$
\int_{1}^{4} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4}
$
Evaluamos en los límites de integración:
$
\left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{4^2}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right)
$
$
= \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1}{2} \right)
$
$
= \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \right)
$
$
= \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \frac{1}{2}
$
$
= \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 - \frac{1}{2}
$
$
= \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} - \frac{1}{2}
$
$
= \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{15}{2}
$