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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
f) $\int_{0}^{2 \pi}(t-\pi) \cos (t) dt$
f) $\int_{0}^{2 \pi}(t-\pi) \cos (t) dt$
Respuesta
Primero integramos la función \( (t - \pi) \cos(t) \).
Reportar problema
Para integrar \( (t - \pi) \cos(t) \), usamos el método de integración por partes. Sea \( f(t) = t - \pi \) y \( g'(t) = \cos(t) \, dt \).
Entonces, \( f'(t) = dt \) y \( g(t) = \int \cos(t) \, dt = \sin(t) \).
La integral se transforma en:
$
\int (t - \pi) \cos(t) \, dt = (t - \pi) \sin(t) - \int \sin(t) \, dt
$
Resolvemos la integral de \( \sin(t) \):
$
\int \sin(t) \, dt = -\cos(t)
$
Entonces:
$
\int (t - \pi) \cos(t) \, dt = (t - \pi) \sin(t) + \cos(t) + C
$
Y ahora aplicamos Barrow:
$
\int_{0}^{2 \pi} (t - \pi) \cos(t) \, dt = \left[ (t - \pi) \sin(t) + \cos(t) \right]_{0}^{2 \pi}
$
$
\left[ (t - \pi) \sin(t) + \cos(t) \right]_{0}^{2 \pi} = \left[ (2 \pi - \pi) \sin(2 \pi) + \cos(2 \pi) \right] - \left[ (0 - \pi) \sin(0) + \cos(0) \right]
$
$
= \left[ \pi \cdot 0 + 1 \right] - \left[ -\pi \cdot 0 + 1 \right]
$
$
= 1 - 1 = 0
$