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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO

Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
d) $f(x)=10^{x}$

Respuesta


Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.



Hallemos el conjunto de ceros: $ \begin{gathered} 10^{x}=0 \\ x=\log _{10}(0) \end{gathered} $ Esto es absurdo, pues el logaritmo natural de cero no existe. 

• $C^{0} = \emptyset$



Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:  

Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. 

Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.

Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:
 $f(0)=10^{0}=1$ 
Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • $C^{+} =  \Re$ 

• $C^{-} = \emptyset$



 
Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:  
$ \begin{gathered} 10^{x}=y \\ x=\log _{10}(y) \\ y^{-1}=\log _{10}(x) \end{gathered} $
Calculamos su dominio:
$ x>0 $


$Domf^{-1} = (0 ;+\infty)$


• $Imf =(0 ;+\infty)$
 


Asíntotas verticales: 

No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.
• No hay AV

Asintotas Horizontales:


$ \lim _{x \rightarrow \infty} 10^{x}=\infty $ Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $ \lim _{x \rightarrow-\infty} 10^{x}=10^{-\infty}=\frac{1}{10^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
 • Hay AH en $y=0$ por izquierda
 

La gráfica nos quedaría así:



 
2024-05-08%2012:58:10_1960953.png


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