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Matemática 51
2024
ROSSOMANDO
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
5.
Hallar $f^{-1}(x)$. Dar dominio e imagen.
d) $f(x)=e^{2x+1}-2$
d) $f(x)=e^{2x+1}-2$
Respuesta
Primero hallemos la inversa. Acordate que podés hacer el cambio de variable al comienzo (y en ese caso despejar $y$) o al final (y en ese caso despejar $x$). Ambas formas son válidas, de hecho, son lo mismo, pero sé que hay profes que lo hacen de diferente forma, por eso te lo aclaro.
$
\begin{gathered}
y=e^{2 x+1}-2 \\
y+2=e^{2 x+1} \\
\ln (y+2)=2 x+1 \\
\ln (y+2)-1=2 x \\
\frac{\ln (y+2)-1}{2}=x \\
\frac{\ln (x+2)-1}{2}=y^{-1}
\end{gathered}
$
Hallemos el dominio de la inversa:
Tenemos la restricción de dominio
$x+2>0$
$x>-2$
$Domf^{-1}=(-2 ;+\infty)$
Hallemos la imagen de la inversa:
La imagen de la función inversa será el dominio de la función original, que por ser una exponencial (y no presentar resitricciones de dominio) diremos que son todos los números reales.
$Imf^{-1} = Domf^{1} = \Re$