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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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2. Sea f(x)=ln⁡(x+1)f(x)=\ln (x+1). Encuentre un polinomio p(x)p(x) de grado 3 tal que p(0)=f(0),p′(0)=f′(0),p′′(0)=f′′(0)p(0)=f(0), p^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), p^{\prime \prime}(0)=f^{\prime \prime}(0) y p′′′(0)=f′′′(0)p^{\prime \prime \prime}(0)=f^{\prime \prime \prime}(0).

Respuesta

Lo que nos están pidiendo es justamente el polinomio de Taylor de orden 33 de ff, centrado en x=0x=0. Sabemos que el polinomio que estamos buscando entonces va a tener esta estructura:

p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22!+f(3)(0)x33! p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!}

Las derivadas de ff las calculamos en el Ejercicio anterior. Las evaluamos en x=0x=0 y obtenemos:

1. f(x)=ln⁡(x+1)⇒ f(0)=0  f(x) = \ln(x+1) \Rightarrow f(0) = 0 
2. f′(x)=1x+1 ⇒ f′(0)=1  f'(x) = \frac{1}{x+1} \Rightarrow f'(0) = 1 
3. f′′(x)=−1(x+1)2 ⇒ f′′(0)=−1  f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} \Rightarrow f''(0) = -1 
4. f(3)(x)=2(x+1)3 ⇒ f(3)(0)=2  f^{(3)}(x) = \frac{2}{(x+1)^3} \Rightarrow f^{(3)}(0) = 2 

Reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor y ya estamos :)

p(x)=0+1⋅x−1⋅x22+2⋅x36 p(x) = 0 + 1 \cdot x - \frac{1 \cdot x^2}{2} + \frac{2 \cdot x^3}{6}

Simplificamos: p(x)=x−12x2+13x3 p(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3

Este es el polinomio entonces que estamos buscando :)
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