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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
a) f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x} orden 5 x0=0x_{0}=0

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 55 centrado en x=0x=0 de la función f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x}

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22!+f(3)(0)x33!+f(4)(0)x44!+f(5)(0)x55! p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} + \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!}

Entonces vamos a arrancar buscando las derivadas que necesitamos de ff y evaluándolas en x=0x=0 para completar las piezas que nos faltan:

f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x}
f(0)=1f(0) = 1

f′(x)=1(1−x)2 f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} f′(0)=1 f'(0) = 1 f′′(x)=2(1−x)3 f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3} f′′(0)=2 f''(0) = 2 f(3)(x)=6(1−x)4 f^{(3)}(x) = \frac{6}{(1-x)^4} f(3)(0)=6 f^{(3)}(0) = 6 f(4)(x)=24(1−x)5 f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1-x)^5} f(4)(0)=24 f^{(4)}(0) = 24 f(5)(x)=120(1−x)6 f^{(5)}(x) = \frac{120}{(1-x)^6} f(5)(0)=120 f^{(5)}(0) = 120

Perfecto, ahora reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio:

p(x)=1+1x+2x22!+6x33!+24x44!+120x55! p(x) = 1 + 1x + \frac{2x^2}{2!} + \frac{6x^3}{3!} + \frac{24x^4}{4!} + \frac{120x^5}{5!} Reacomodamos un poco:
p(x)=1+x+x2+x3+x4+x5 p(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5
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Micaela
2 de junio 22:50
Hola flor! no entiendo por qué en el denominador de f'' te da (1-x)^3
Si por la regla de la cadena es "el segundo^2" ¿Por propiedad de potencia no debería quedar (1-x)^4?
0 Responder
Flor
PROFE
3 de junio 16:35
@Micaela Hola Mica! Claro, inicialmente te queda elevado a la cuarta, pero se te cancela con un (1−x)(1-x) que te queda en el numerador... Fijate que abajo puse esas derivadas escritas en la tablet con la regla del cociente hecha explícitamente, avisame si ahí lo ves mejor!
0 Responder
Rocío
2 de junio 18:13
no te deberían quedar algunas de las derivadas negativas?
0 Responder
Flor
PROFE
2 de junio 20:52
@Rocío Hola Rocío! Mirá, acá te hice en la tablet las primeras dos derivadas, si las haces despacito vas a ver que todas quedan positivas:

2024-06-02%2020:51:33_3226396.png

No te olvides de multiplicar por el −1-1 por regla de la cadena (que sería la derivada de 1−x1-x)

Avisame si ahí lo pudiste verrr!
0 Responder
Rocío
3 de junio 16:36
claro es q yo lo había pensado como si fuera un exponente, tipo (1-x)^-1, y ahí me quedaron negativas algunas, no sé si es pq me equivoqué en algún paso🥲
0 Responder