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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
b) $f(x)=\operatorname{sen} x$ orden 4 $x_{0}=0$
b) $f(x)=\operatorname{sen} x$ orden 4 $x_{0}=0$
Respuesta
Para calcular el polinomio de Taylor de la función \( f(x) = \sin(x) \) de orden 4 centrado en \( x_0 = 0 \) vamos a seguir los mismos pasos que venimos haciendo:
Primero, sabemos que la estructura del polinomio de Taylor de orden 4 centrado en \( x_0 = 0 \) va a ser esta:
Reportar problema
$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} $
Ahora calculamos cada una de las derivadas de \( f(x) = \sin(x) \) y las evaluamos en \( x_0 = 0 \):
\( f(x) = \sin(x) \)
$f(0) = 0$
$ f'(x) = \cos(x) $
$ f'(0) = 1 $
$ f''(x) = -\sin(x) $
$ f''(0) = 0 $
$ f^{(3)}(x) = -\cos(x) $
$ f^{(3)}(0) = -1 $
$ f^{(4)}(x) = \sin(x) $
$ f^{(4)}(0) = 0 $
Listo, reemplazamos lo que obtuvimos en nuestro polinomio:
$ p(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0 \cdot x^2}{2} + \frac{-1 \cdot x^3}{6} + \frac{0 \cdot x^4}{24} $
Reacomodamos:
$ p(x) = x - \frac{x^3}{6} $
Y este es el polinomio que estábamos buscando :)