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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
f) f(x)=xf(x)=\sqrt{x} orden 3 x0=4x_{0}=4

Respuesta

Para calcular el polinomio de Taylor de la función f(x)=x f(x) = \sqrt{x} de orden 3 centrado en x0=4 x_0 = 4 , seguimos los pasos que venimos haciendo: La estructura del polinomio de Taylor que estamos buscando es:
p(x)=f(4)+f′(4)(x−4)+f′′(4)2!(x−4)2+f′′′(4)3!(x−4)3 p(x) = f(4) + f'(4)(x - 4) + \frac{f''(4)}{2!}(x - 4)^2 + \frac{f'''(4)}{3!}(x - 4)^3 Ahora necesitamos calcular las derivadas de f(x)=x f(x) = \sqrt{x} y evaluarlas en x0=4 x_0 = 4 :

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}
f(4)=2f(4) = 2
  f′(x)=12x f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
f′(4)=14 f'(4) = \frac{1}{4} f′′(x)=−14x3/2 f''(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}}
f′′(4)=−132 f''(4) = -\frac{1}{32} f′′′(x)=38x5/2 f'''(x) = \frac{3}{8x^{5/2}}
f′′′(4)=3256 f'''(4) = \frac{3}{256} Sustituimos los valores que obtuvimos en el esqueleto de nuestro Taylor:
p(x)=2+14(x−4)−132⋅12!(x−4)2+3256⋅13!(x−4)3 p(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{2!}(x - 4)^2 + \frac{3}{256} \cdot \frac{1}{3!}(x - 4)^3 Reacomodamos un poco:
p(x)=2+14(x−4)−164(x−4)2+1512(x−4)3 p(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{64}(x - 4)^2 + \frac{1}{512}(x - 4)^3
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