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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
g) $f(x)=e^{x}$ orden 5 $x_{0}=0$
g) $f(x)=e^{x}$ orden 5 $x_{0}=0$
Respuesta
Ahora tenemos que encontrar el polinomio de Taylor de la función \( f(x) = e^{x} \) de orden 5 centrado en \( x_0 = 0 \)
La estructura que sabemos que tendrá este polinomio es:
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$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 $
Ahora evaluamos $f$ y sus derivadas en $x=0$
$f(x) = e^x$
$f(0) = 1$
$ f'(x) = e^{x} $
$ f'(0) = 1 $
$ f''(x) = e^{x} $
$ f''(0) = 1 $
...y no es necesario que siga no? Todas valen $1$! Así que nuestro Taylor nos queda así:
$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} $