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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones en $x_{0}=0$
c) $f(x)=\operatorname{sen} x$
c) $f(x)=\operatorname{sen} x$
Respuesta
Este item lo vamos resolver con razonamientos muy parecidos al anterior. En este caso el Taylor de orden $n$ centrado en $x=0$ que queremos encontrar el de la función $f(x)=\operatorname{sen} x$
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Al igual que en el anterior, las derivadas de \( f(x) = \sin x \) también son cíclicas y se repiten cada 4 derivadas.
$ f(x) = \sin x $
$ f'(x) = \cos x $
$ f''(x) = -\sin x $
$ f'''(x) = -\cos x $
$ f^{(4)}(x) = \sin x $
Y así sucesivamente. Y sus valores evaluados en \( x_0 = 0 \) son:
$ f(0) = \sin(0) = 0 $
$ f'(0) = \cos(0) = 1 $
$ f''(0) = -\sin(0) = 0 $
$ f'''(0) = -\cos(0) = -1 $
$ f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0 $En este caso, a diferencia del anterior, las derivadas pares son nulas y sólo debemos quedarnos con las derivadas de orden impar. Además, tenemos que asegurarnos que, al escribirlo de manera general, las derivadas impares evaluadas en $x=0$ vayan alternando entre $-1$ y $1$. Una manera de escribir esto de forma general es así:
$ p(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $
Donde acá el orden del polinomio es $n = 2k+1$
Es muy parecida al anterior, con la diferencia que ahora pusimos $2k+1$ para asegurarnos que, para cada $k$ natural, obtengamos siempre un número impar (antes habíamos puesto $2k$ para obtener siempre números pares) Probá desde $k=0$ en adelante, y convencete que va cumpliendo con los primeros términos y con los que siguen :)