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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7. Si el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5 en $x=2$ es $p(x)=(x-2)^{5}+3(x-2)^{4}+3(x-2)^{2}-8$, calcule $f^{(4)}(2)$ y $f^{(\prime \prime \prime)}(2)$. ¿Se puede conocer el valor de $f^{(6)}(2)$? ¿Cuánto vale $f^{(6)}(2)$ si el polinomio $p$ es de orden 7?
Respuesta
En este ejercicio nos dan como dato el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5 en $x=2$
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$p(x)=(x-2)^{5}+3(x-2)^{4}+3(x-2)^{2}-8$
Sabiendo esto, tenemos que averiguar:
✅ $f^{(4)}(2) \Rightarrow$ Por definición sabemos que va a ser igual a $p^{(4)}(2)$. Acá tenés dos opciones:
*Derivás el polinomio de Taylor hasta la derivada cuarta y la evaluas en $x=2$ (muchas veces el camino más seguro). Vos sabés que $p^{(4)}(2) = f^{(4)}(2)$, entonces ahí ya sale
*Como en este caso nos dan el polinomio de Taylor en potencias de $(x-2)$, mirando el término con $(x-4)^4$ podríamos deducir cuánto vale $f^{(4)}(2)$. Es decir, nosotrxs sabemos (a partir de la estructura de cualquier polinomio de Taylor centrado en $x=2$) que lo que acompaña a $(x-2)^4$ es $\frac{f^{(4)}(2)}{4!}$. Y ahí en el polinomio tenemos un $3$ acompañando, entonces planteamos:
$\frac{f^{(4)}(2)}{4!} = 3$
$f^{(4)}(2) = 72$
(Si derivabas el polinomio hasta la derivada cuarta y evaluabas en $x=2$ llegabas al mismo resultado)
✅$f'''(2)$
De nuevo, dos opciones. Derivas el polinomio hasta la derivada tercera y evaluas en $x=2$, ya que sabemos que $p'''(2) = f'''(2)$. O la otra opción es pensarlo mirando la estructura del polinomio de Taylor. Fijate que no tenemos término cúbico, no hay ningún termino con $(x-2)^3$, por lo tanto, podemos deducir que $f'''(2) = 0$
✅ $f^{(6)}(2)$
Como el polinomio de Taylor que nos dan es de orden $5$, entonces, más allá de la derivada quinta no tenemos ninguna información. Así que no podemos saber cuánto vale. En cambio, si nos aseguran que el polinomio de Taylor que estamos viendo es de orden $7$, ahí si podemos asegurar que $f^{(6)}(2) = 0$