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@Sarasino Hola! El $3x$ sale de acá, fijate que vos tenías que
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ah ya entendi, mil disculpas
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@Manuel Hola Manu! Ay si obvio jajaaja me faltó escribir el signo $-$ en el último renglón! Ya mismo lo editooo :) Gracias por avisar!
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9. Halle los valores de $a$ y de $b$ de modo que el polinomio de Taylor de orden 2 de $f(x)=a \ln (1+b x)$ en $x=0$ sea $p(x)=2 x+\frac{3}{2} x^{2}$.
Respuesta
La clave para encarar este ejercicio es acordarnos de la relación clave que cumplen $f$ y su polinomio de Taylor en $x=2$, que es que...
Reportar problema
$f(0) = p(0)$
$f'(0) = p'(0)$
$f''(0) = p''(0)$
Entonces, vamos a plantear estas relaciones y esperamos obtener condiciones para $a$ y $b$ para que se cumplan estas igualdades :)
👉 $f(0) = p(0)$
Si evaluamos tanto $f$ como el polinomio en $x=0$, vemos que ambos valen cero, sin importar quién sea $a$ y $b$. Por lo tanto, de esta igualdad no obtenemos ninguna información.
👉 $f'(0) = p'(0)$
Primero hallamos \( f'(x) \), acordate al derivar que $a$ y $b$ son simplemente números!
\( f'(x) = a \cdot \frac{b}{1+bx} \)
Evaluamos en \( x = 0 \):
\( f'(0) = ab \)
Dado que \( p'(x) = 2 + 3x \), entonces \( p'(0) = 2 \). Por lo tanto, igualando ambos resultados nos queda:
\( ab = 2 \)
Perfecto! Ya tenemos una primera ecuación que relaciona $a$ y $b$. Veamos que información nos aporta la derivada segunda...
👉 $f''(0) = p''(0)$
Consejo para derivar $f$, porque sé que más de unx se va a perder acá. Escribí a $f'(x)$ así
\( f'(x) = \frac{ab}{1+bx} \)
Acá usamos que $ab = 2$, así que nos queda
\( f'(x) = \frac{2}{1+bx} \)
Ahora derivamos usando regla del cociente:
$f''(x) = \frac{-2b}{(1+bx)^2}$
Evaluamos en $x=0$
$f''(0) = -2b$
Dado que \( p''(x) = 3 \), entonces \( p''(0) = 3 \)
Igualamos y nos queda:
\( -2b = 3 \)
\( b = -\frac{3}{2} \)
Perfectoooo, ya tenemos el valor de $b$! Ahora para obtener $a$ recordemos que:
\( ab = 2 \)
$a \cdot (-\frac{3}{2}) = 2$
\( a = -\frac{4}{3} \)
Y estos eran los valores de $a$ y $b$ que estábamos buscando :)
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Sarasino
24 de octubre 20:27
hola florr, duda de domde sale el 3x es un error ?, por que seria 2x no?
Flor
PROFE
25 de octubre 8:29
$p(x)=2 x+\frac{3}{2} x^{2}$
Entonces, cuando derivas $\frac{3}{2} x^{2}$, con las reglas para polinomios, baja el 2 y se simplifica con el otro 2, y por eso te queda 3x :)
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Tadeo
1 de julio 19:09
Hola Profe. Por que la primer derivada de f(x) es b/1+bx? no seria 1/1+bx * b? Saludos
Tadeo
1 de julio 19:12
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Manuel
4 de junio 18:29
Hola Flor! Al final del ejercicio no quedaría que a=-4/3? Así me quedó a mí en el cuaderno. Saludos!
Flor
PROFE
4 de junio 21:38
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