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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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9. Halle los valores de aa y de bb de modo que el polinomio de Taylor de orden 2 de f(x)=aln⁡(1+bx)f(x)=a \ln (1+b x) en x=0x=0 sea p(x)=2x+32x2p(x)=2 x+\frac{3}{2} x^{2}.

Respuesta

La clave para encarar este ejercicio es acordarnos de la relación clave que cumplen ff y su polinomio de Taylor en x=2x=2, que es que...

f(0)=p(0)f(0) = p(0)

f′(0)=p′(0)f'(0) = p'(0)

f′′(0)=p′′(0)f''(0) = p''(0)

Entonces, vamos a plantear estas relaciones y esperamos obtener condiciones para aa y bb para que se cumplan estas igualdades :)

👉 f(0)=p(0)f(0) = p(0)

Si evaluamos tanto ff como el polinomio en x=0x=0, vemos que ambos valen cero, sin importar quién sea aa y bb. Por lo tanto, de esta igualdad no obtenemos ninguna información.

👉 f′(0)=p′(0)f'(0) = p'(0)

Primero hallamos f′(x) f'(x) , acordate al derivar que aa y bb son simplemente números! f′(x)=a⋅b1+bx f'(x) = a \cdot \frac{b}{1+bx} Evaluamos en x=0 x = 0 : f′(0)=ab f'(0) = ab Dado que p′(x)=2+3x p'(x) = 2 + 3x , entonces p′(0)=2 p'(0) = 2 . Por lo tanto, igualando ambos resultados nos queda:

ab=2 ab = 2

Perfecto! Ya tenemos una primera ecuación que relaciona aa y bb. Veamos que información nos aporta la derivada segunda...

👉 f′′(0)=p′′(0)f''(0) = p''(0)

Consejo para derivar ff, porque sé que más de unx se va a perder acá. Escribí a f′(x)f'(x) así

f′(x)=ab1+bx f'(x) = \frac{ab}{1+bx}

Acá usamos que ab=2ab = 2, así que nos queda

f′(x)=21+bx f'(x) = \frac{2}{1+bx}

Ahora derivamos usando regla del cociente:

f′′(x)=−2b(1+bx)2f''(x) = \frac{-2b}{(1+bx)^2}

Evaluamos en x=0x=0

f′′(0)=−2bf''(0) = -2b

Dado que p′′(x)=3 p''(x) = 3 , entonces p′′(0)=3 p''(0) = 3

Igualamos y nos queda:

−2b=3 -2b = 3 b=−32 b = -\frac{3}{2}

Perfectoooo, ya tenemos el valor de bb! Ahora para obtener aa recordemos que:

ab=2 ab = 2

a⋅(−32)=2a \cdot (-\frac{3}{2}) = 2

a=−43 a = -\frac{4}{3}

Y estos eran los valores de aa y bb que estábamos buscando :)
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Sarasino
24 de octubre 20:27
hola florr, duda de domde sale el 3x es un error ?, por que seria 2x no?

2024-10-24%2020:26:34_2679563.png
0 Responder
Flor
PROFE
25 de octubre 8:29
@Sarasino Hola! El 3x3x sale de acá, fijate que vos tenías que 

p(x)=2x+32x2p(x)=2 x+\frac{3}{2} x^{2}

Entonces, cuando derivas 32x2\frac{3}{2} x^{2}, con las reglas para polinomios, baja el 2 y se simplifica con el otro 2, y por eso te queda 3x :)
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Sarasino
26 de octubre 12:41
@Flor ahhh cierto gracias flor 
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Tadeo
1 de julio 19:09
Hola Profe. Por que la primer derivada de f(x) es b/1+bx? no seria  1/1+bx * b? Saludos
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Tadeo
1 de julio 19:12
ah ya entendi, mil disculpas
0 Responder
Flor
PROFE
2 de julio 9:40
@Tadeo Buenísimo que te diste cuenta sólo al final! :) 
0 Responder
Manuel
4 de junio 18:29
Hola Flor! Al final del ejercicio no quedaría que a=-4/3? Así me quedó a mí en el cuaderno. Saludos! 
0 Responder
Flor
PROFE
4 de junio 21:38
@Manuel Hola Manu! Ay si obvio jajaaja me faltó escribir el signo −- en el último renglón! Ya mismo lo editooo :) Gracias por avisar!
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