Volver a Guía
Ir al curso
@Ezequiel Hola Eze! Es porque queremos que empiece con la potencia de $x$ lo más grande posible... Si $f'(0)$ fuera distinto de cero, entonces tu polinomio de Taylor arrancaría en $x^1$. Lo mismo, si $f''(0)$ fuera distinto de cero, arrancaría en $x^2$... Pidiendole condiciones a $a$ y a $b$ podemos lograr que esas derivadas sean cero y entonces nuestro Taylor arranque recién con $x^3$ :D
0
Responder
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10. Determine los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio de Taylor de $f(x)=\ln (1+x)+a x^{2}+b x$ en $x=0$ empiece con la potencia de $x$ de exponente lo más grande posible.
Respuesta
Vamos a entender un poquito la situación. Si queremos que nuestro Taylor empiece con la potencia de \( x \) con el exponente más grande posible, necesitamos anular al menos los primeros términos (el lineal y el cuadrático), de modo que en principio seguro $f'(0)$ y $f''(0)$ tendríamos que pedir que sean cero.
Reportar problema
La función dada \( f(x) = \ln(1 + x) + ax^2 + bx \). Calculemos sus primeras derivadas y evaluémoslas en \( x = 0 \):
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x} + 2ax + b \)
Evaluando en \( x = 0 \) obtenemos:
\( f'(0) = 1 + b \)
Por lo tanto, si queremos que $f'(0)$ y, por lo tanto, anular el término con $x^1$ (el lineal), tenemos que pedir que:
$1 + b = 0$
y despejando nos queda que $b = -1$
Vamos ahora con la derivada segunda:
\( f''(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} + 2a \)
Evaluando en \( x = 0 \) obtenemos:
\( f''(0) = -1 + 2a \)
Entonces, si pedimos que $f''(0) = 0$ estaríamos anulando el término con $x^2$ (el cuadrático). Entonces,
\( -1 + 2a = 0 \)
\( a = \frac{1}{2} \)
Por lo tanto, si \( a = \frac{1}{2} \) y \( b = -1 \), el término lineal y el cuadrático desaparecen, y estaríamos logrando que el polinomio arranque con la potencia de $x$ lo más grande posible.
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar
tu
comentario.
Ezequiel
5 de junio 17:38
Hola Flor, la verdad que no entiendo porque pedimos que los dos primeros terminos del polinomio de taylor valgan 0. Porque tienen que ser necesariamente f' y f''?
Flor
PROFE
5 de junio 20:03
0
Responder