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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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10. Determine los valores de aa y bb para que el polinomio de Taylor de f(x)=ln⁡(1+x)+ax2+bxf(x)=\ln (1+x)+a x^{2}+b x en x=0x=0 empiece con la potencia de xx de exponente lo más grande posible.

Respuesta

Vamos a entender un poquito la situación. Si queremos que nuestro Taylor empiece con la potencia de x x con el exponente más grande posible, necesitamos anular al menos los primeros términos (el lineal y el cuadrático), de modo que en principio seguro f′(0)f'(0) y f′′(0)f''(0) tendríamos que pedir que sean cero. 
La función dada f(x)=ln⁡(1+x)+ax2+bx f(x) = \ln(1 + x) + ax^2 + bx . Calculemos sus primeras derivadas y evaluémoslas en x=0 x = 0 : f′(x)=11+x+2ax+b f'(x) = \frac{1}{1 + x} + 2ax + b Evaluando en x=0 x = 0 obtenemos:
f′(0)= 1+b f'(0) =  1 + b

Por lo tanto, si queremos que f′(0)f'(0) y, por lo tanto, anular el término con x1x^1 (el lineal), tenemos que pedir que:

1+b=01 + b = 0

y despejando nos queda que b=−1b = -1 Vamos ahora con la derivada segunda:
f′′(x)=−1(1+x)2+2a f''(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} + 2a Evaluando en x=0 x = 0 obtenemos:
f′′(0)=−1+2a f''(0) = -1 + 2a

Entonces, si pedimos que f′′(0)=0f''(0) = 0 estaríamos anulando el término con x2x^2 (el cuadrático). Entonces, −1+2a=0 -1 + 2a = 0
a=12 a = \frac{1}{2}

Por lo tanto, si a=12 a = \frac{1}{2} y b=−1 b = -1 , el término lineal y el cuadrático desaparecen, y estaríamos logrando que el polinomio arranque con la potencia de xx lo más grande posible. 
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Ezequiel
5 de junio 17:38
Hola Flor, la verdad que no entiendo porque pedimos que los dos primeros terminos del polinomio de taylor valgan 0. Porque tienen que ser necesariamente f' y f''?
0 Responder
Flor
PROFE
5 de junio 20:03
@Ezequiel Hola Eze! Es porque queremos que empiece con la potencia de xx lo más grande posible... Si f′(0)f'(0) fuera distinto de cero, entonces tu polinomio de Taylor arrancaría en x1x^1. Lo mismo, si f′′(0)f''(0) fuera distinto de cero, arrancaría en x2x^2... Pidiendole condiciones a aa y a bb podemos lograr que esas derivadas sean cero y entonces nuestro Taylor arranque recién con x3x^3 :D
0 Responder