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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11. La función $f(x)=\sqrt[n]{a x+1}$ tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en $x=0$ a $p(x)=1+5 x-\frac{75}{2} x^{2}$. Halle los valores de $a$ y de $n$.
Respuesta
Este problema lo vamos a resolver usando razonamientos similares a los que vimos en el Ejercicio 9. Para que $p$ efectivamente sea el polinomio de Taylor de $f$ en $x=0$, se tiene que cumplir que:
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$f(0) = p(0)$
$f'(0) = p'(0)$
$f''(0) = p''(0)$
Entonces, vamos a plantear estas relaciones y esperamos obtener condiciones para $a$ y $n$ para que se cumplan estas igualdades :)
👉 $f(0) = p(0)$
Si evaluamos tanto $f$ como el polinomio en $x=0$, vemos que ambos valen $1$, sin importar quién sea $a$ y $n$. Por lo tanto, de esta igualdad no obtenemos ninguna información.
Aclaración por si estas dudando con eso: Cualquier raíz de $1$ siempre da $1$ :)
👉 $f'(0) = p'(0)$
Para derivar $f$ primero nos conviene tenerla escrita así:
$f(x) = (ax+1)^{\frac{1}{n}}$
Y ahora derivamos con las reglas que usamos para polinomios, nos queda:
$f'(x) = \frac{1}{n}(ax+1)^{\frac{1}{n}-1} \cdot a $
Evaluamos en $x=0$
\( f'(0) = \frac{1}{n} \cdot a \)
Dado que \( p'(x) = 5 - 75x \), entonces \( p'(0) = 5 \). Por lo tanto, planteando la igualdad:
$ \frac{1}{n} \cdot a = 5 $
$a = 5n$
Bueno, acá tenemos una primera relación entre $a$ y $n$. Veamos qué información nos aporta ahora la derivada segunda:
👉 $f''(0) = p''(0)$
Calculamos ahora la derivada segunda de $f$
$f''(x) = \frac{1}{n} \cdot (\frac{1}{n}-1) \cdot (ax+1)^{\frac{1}{n}-2} \cdot a^2$
Evaluamos en $x=0$
$f''(0) = \frac{1}{n} \cdot (\frac{1}{n}-1) \cdot a^2$
Dado que \( p''(x) = -75 \), tenemos que \( p''(0) = -75 \). Por lo tanto, igualando nos queda:
$\frac{1}{n} \cdot (\frac{1}{n}-1) \cdot a^2 = -75$
Expresamos lo del paréntesis como una única fracción, después hacemos distributiva y nos queda:
$\frac{1-n}{n^2} \cdot a^2 = -75$
Despejamos $a$
$a^2 = \frac{-75n^2}{1-n}$
Y ahora usamos que $a = 5n$
$(5n)^2 = \frac{-75n^2}{1-n}$
$25n^2 = \frac{-75n^2}{1-n}$
$25 = \frac{-75}{1-n}$
$25 \cdot (1-n) = -75$
$1 - n = -3$
$n = 4$
Buenísimoooo, ya tenemos $n$. Entonces ya podemos saber quién es $a$ usando que $a = 5n$, por lo tanto:
$a = 5 \cdot 4 = 20$
Por lo tanto, los valores de \( a \) y \( n \) que cumplen con las condiciones dadas son \( a = 20 \) y \( n = 4 \).