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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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1. Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y xx. Compruebe que A′(x)=f(x)A^{\prime}(x)=f(x).
b) 2024-05-17%2008:59:44_3239359.png

Respuesta

Atenti ahora que este hay que pensarlo un poquito más. La función que tenemos en este caso es una lineal, que vemos que pasa por el punto (0,2)(0,2) y (3,0)(3,0). Usando esto, sabemos que se trata de la función f(x)=−23x+2f(x) = -\frac{2}{3}x + 2

Entonces, ¿cuál es el área que nos queda delimitada entre 00 y xx? Vamos a hacer un esquema para entenderlo mejor:

2024-05-17%2009:20:26_9593547.png

Ahí vemos que el área bajo la curva que tenemos es la suma del área del rectángulo verde + el triángulo naranja. El rectángulo tiene base xx y altura f(x)f(x), mientras que el triángulo tiene base xx y altura 2−f(x)2 - f(x). Entonces, usando las fórmulas para calcular el área de un rectángulo y de un triángulo, nos queda:

A(x)=x⋅f(x)+x(2−f(x))2A(x) = x \cdot f(x) + \frac{x (2-f(x))}{2}

Reemplazamos por la expresión de f(x)f(x)

A(x)=x⋅(−23x+2)+x[2−(−23x+2)]2A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 2) + \frac{x [2 -(-\frac{2}{3}x + 2)]}{2}

A(x)=x⋅(−23x+2)+x[2+23x−2]2A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 2) + \frac{x [2 +\frac{2}{3}x - 2]}{2}

A(x)=x⋅(−23x+2)+23x22A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 2) + \frac{\frac{2}{3}x^2}{2}

A(x)=−23x2+2x+13x2A(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 2x + \frac{1}{3}x^2

A(x)=−13x2+2xA(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x

Esta es la función área bajo la curva, que depende de xx. Ahora chequeamos que efectivamente si hacemos la derivada de AA recuperamos f(x)f(x)

A′(x)=−23x+2=f(x)A'(x) = -\frac{2}{3}x + 2 = f(x)
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