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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y $x$. Compruebe que $A^{\prime}(x)=f(x)$.
b)
b)
Respuesta
Atenti ahora que este hay que pensarlo un poquito más. La función que tenemos en este caso es una lineal, que vemos que pasa por el punto $(0,2)$ y $(3,0)$. Usando esto, sabemos que se trata de la función $f(x) = -\frac{2}{3}x + 2$
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Entonces, ¿cuál es el área que nos queda delimitada entre $0$ y $x$? Vamos a hacer un esquema para entenderlo mejor:
Ahí vemos que el área bajo la curva que tenemos es la suma del área del rectángulo verde + el triángulo naranja. El rectángulo tiene base $x$ y altura $f(x)$, mientras que el triángulo tiene base $x$ y altura $2 - f(x)$. Entonces, usando las fórmulas para calcular el área de un rectángulo y de un triángulo, nos queda:
$A(x) = x \cdot f(x) + \frac{x (2-f(x))}{2} $
Reemplazamos por la expresión de $f(x)$
$A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 2) + \frac{x [2 -(-\frac{2}{3}x + 2)]}{2} $
$A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 2) + \frac{x [2 +\frac{2}{3}x - 2]}{2} $
$A(x) = x \cdot (-\frac{2}{3}x + 2) + \frac{\frac{2}{3}x^2}{2} $
$A(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 2x + \frac{1}{3}x^2 $
$A(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$
Esta es la función área bajo la curva, que depende de $x$. Ahora chequeamos que efectivamente si hacemos la derivada de $A$ recuperamos $f(x)$
$A'(x) = -\frac{2}{3}x + 2 = f(x)$
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