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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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6. Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las siguientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de $K$.
a) $\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \sqrt{3 x+5}+K$

Respuesta

Para comprobar esta igualdad vamos a usar el TFC como nos sugiere el enunciado. 

$\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \sqrt{3 x+5}+K$

Si derivamos ambos lados de la igualdad nos queda:

$\frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 x+5} } \cdot 3 + 0 $

Aclaración: Acordate que $K$ es simplemente un número, así que su derivada es cero.

Simplificamos y efectivamente vemos que

$\frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \frac{1}{\sqrt{3x+5}} $ ✅

Para poder encontrar el valor de $K$, acordate que cualquier integral definida donde sus límites de integración son iguales, nos va a dar simplemente cero:

$\int_{0}^{0} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}} = 0$

Y eso pasa justamente cuando evaluamos esta igualdad en $x=0$! Si hacemos eso entonces nos queda:

$\int_{0}^{0} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3 \cdot 0+5}+K$

$0 = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{5} + K$

$K = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt{5}$
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Juan
2 de julio 17:06
No entiendo porq al derivar los 2/3 no da 0 profe
0 Responder
Flor
PROFE
3 de julio 9:10
@Juan Hola Juan! Fijate que el 2/3 está multiplicando a lo que depende de $x$, por eso, al derivarlo, simplemente lo arrastramos multiplicando y derivamos aquello que depende de $x$. En cambio, $K$, que también es un número, está ahí suelto sumando, entonces ahí si al derivarlo nos da cero... se entiende la diferencia? La clave está en que en el primer caso el número está multiplicando a lo que depende de $x$, no está suelto 
0 Responder
tomas
8 de junio 17:15
Buenas, ¿Puede ser que no sea necesario usar el TFC? Si bien el enunciado te dice que lo uses, no podes simplemente, igualar a cero la integral y el resto para sacar K directamente? como bien haces en la resolución. Como con el compañero Benjamin no entiendo la derivada del dt y que termine siendo 1. Gracias como siempre! 
0 Responder
Flor
PROFE
8 de junio 18:16
@tomas Hola Tomi! El TFC lo aplicamos para hacer la primera parte del enunciado, que nos dice "pruebe estas igualdades". Después si, para obtener el valor de $K$ ahi no aplicamos el TFC, simplemente evaluamos la ecuación en $x=0$, que es el más conveniente así no tenemos que calcular ninguna integral :)

Con respecto a tu otra pregunta, ahí abajo fijate que le contesté a Benjamín, avisame porfa si queda claro!
0 Responder
Benjamin
8 de junio 16:24
no entiendo bien la logica para encontrar el valor de K, llegamos a una igualdad al principio, y despues de eso, por que tomamos todos los x como 0? porque la derivada de K es cero o por que?
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Flor
PROFE
8 de junio 18:14
@Benjamin Elegimos evaluar esa ecuación en $x=0$ porque de esa manera nos queda una integral definida entre $0$ y $0$ (es decir, los límites de integración son iguales y sabemos que da $0$) y entonces zafamos de calcular cualquier integral ;) Es la elección más conveniente por lejos... Si evaluarías esa ecuación en $x=1$ por ejemplo, te queda en cambio del lado izquierdo una integral definida que tendrías que resolver 
0 Responder
Benjamin
8 de junio 21:52
claro, osea para encontrar K tenemos q primero demostrar esa igualdad, y despues podriamos evaluar la ecuacion en el X que queramos y despues ver q sale, solo que aca podemos elegir el 0 y queda todo facil
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Benjamin
8 de junio 16:20
por que el dt se deriva como un uno ?
0 Responder
Flor
PROFE
8 de junio 18:12
@Benjamin Hola de nuevo por acá! Ojo ojo con eso... Justo acá nos lo dan escrito el $dt$ ahi en el numerador, pero es lo mismo que tener esto:

$\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}} = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{3 t+5}} \, dt$

Se ve más claro ahí? Es parte de la notación de la integral, como lo tenemos en todos estos ejercicios... y ahí derivamos aplicando el TFC
0 Responder
Benjamin
8 de junio 21:50
ahhh medio tramposo jaja
0 Responder