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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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6. Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las siguientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de $K$.
b) $\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t=\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin x|)+K$

Respuesta

Este lo vamos a resolver con los mismos razonamientos que ya usamos en el item anterior. Para probar la igualdad derivamos ambos miembros, a la izquierda aplicamos el TFC y nos queda:

$(\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t)'=(\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin x|)+K)'$

$\frac{\cos x}{2 \sin(x)+3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3+2\sin x} \cdot 2\cos x$

Simplificamos y efectivamente obtenemos:

$\frac{\cos x}{2 \sin(x)+3} = \frac{\cos x}{2 \sin(x)+3}$ ✅

Para encontrar el valor de $K$, evaluamos la igualdad del enunciado en $x = 0$: $\int_{0}^{0} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t=\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin 0|)+K$

$0 = \frac{1}{2} \ln (3) + K$

$K = -\frac{1}{2} \ln (3)$
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Avatar Micaela 10 de junio 17:37
Hola flor! no entiendo por qué al despejar K te queda el 1/2ln(3) negativo. Cuando yo lo despejo me queda -K=1/2.ln(3) y me quedo trabada, me estaría faltando un paso y no sé cuál es. Desde ya muchas gracias!
Avatar Flor Profesor 10 de junio 22:14
@Micaela Hola Mica! Cuando llegas a esta parte:

$0 = \frac{1}{2} \ln (3) + K$

Pasas el número $\frac{1}{2} \ln (3)$ restando para la izquierda, entonces te queda:

$-\frac{1}{2} \ln (3) = K$

Yo lo escribí dado vuelta, pero es lo mismo :)
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