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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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8. Encuentre en cada caso, una función G(x)G(x) que satisface
b) G′′(x)=6x,G′(1)=3,G(0)=1G''(x)=6x, G'(1)=3, G(0)=1

Respuesta

Arrancamos integrando G′′(x)G''(x) para obtener G′(x)G'(x)

G′(x)=∫6x dx=6x22+C1=3x2+C1G'(x) = \int 6x \, dx = 6 \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1

Ahora usamos que G′(1)=3G'(1)=3 para obtener quién es C1C_1

G′(1)=3+C1=3G'(1) = 3 + C_1 = 3 C1=0C_1 = 0

Por lo tanto, 

G′(x)=3x2G'(x) = 3x^2

Ahora integramos una vez más para obtener G(x)G(x)

G(x)=∫G′(x) dx=∫3x2 dx= 3x33+C2= x3+C2G(x) = \int G'(x) \, dx = \int 3x^2 \, dx = \frac{3x^3}{3} + C_2 = x^3 + C_2

Ahora usamos la condición G(0)=1G(0) = 1 para encontrar C2C_2. G(0)=C2=1G(0) = C_2 = 1

Por lo tanto, la función que estábamos buscando es:

G(x)=x3+1G(x) = x^3 + 1
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