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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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8. Encuentre en cada caso, una función G(x)G(x) que satisface
c) G′′′(x)=x+sin⁡(x),G′′(0)=G′(0)=G(0)=5G'''(x)=x+\sin(x), G''(0)=G'(0)=G(0)=5

Respuesta

Bueno, vamos a seguir los mismos pasos que venimos haciendo en los items anteriores. Arrancamos integrando G′′′(x)G'''(x) para obtener G′′(x)G''(x)

G′′(x)=∫G′′′(x) dx=∫(x+sin⁡(x)) dx= x22−cos⁡(x)+C1G''(x) = \int G'''(x) \, dx = \int (x + \sin(x)) \, dx = \frac{x^2}{2} -\cos(x) + C_1

Aplicamos la condición inicial G′′(0)=5G''(0) = 5 para encontrar C1C_1. G′′(0)=0−1+C1=5G''(0) = 0 - 1 + C_1 = 5 C1=6C_1 = 6

Entonces G′′(x)G''(x) es: G′′(x)=x22−cos⁡(x)+6G''(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(x) + 6

Ahora integramos G′′(x)G''(x) para obtener G′(x)G'(x). G′(x)=∫G′′(x) dx=∫(x22−cos⁡(x)+6)dx=x36−sin⁡(x)+6x+C2G'(x) = \int G''(x) \, dx = \int \left(\frac{x^2}{2} - \cos(x) + 6\right) dx = \frac{x^3}{6} - \sin(x) + 6x + C_2

Aplicamos la condición G′(0)=5G'(0) = 5 para hallar C2C_2. G′(0)=C2=5G'(0) = C_2 = 5

Por lo tanto, la función G′(x)G'(x) nos queda: G′(x)=x36−sin⁡(x)+6x+5G'(x) = \frac{x^3}{6} - \sin(x) + 6x + 5

Falta pocooo, integramos G′(x)G'(x) para obtener G(x)G(x). G(x)=∫G′(x) dx=∫(x36−sin⁡(x)+6x+5)dx=x424+cos⁡(x)+3x2+5x+C3G(x) = \int G'(x) \, dx = \int \left(\frac{x^3}{6} - \sin(x) + 6x + 5\right) dx = \frac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2 + 5x + C_3

Ahora usamos que G(0)=5G(0) = 5 para encontrar C3C_3. G(0)=1+C3=5G(0) = 1 + C_3 = 5 C3=4C_3 = 4

Por lo tanto, la función GG que estábamos buscando es:

G(x)=x424+cos⁡(x)+3x2+5x+4G(x) = \frac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2 + 5x + 4
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tomas
8 de junio 17:50
buenas, de donde sale el 1 del g(0), gracias!
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Flor
PROFE
9 de junio 8:37
@tomas Hola Tomás! Cuando hacemos G(0)G(0) para encontrar C3C_3, ese 11 sale de hacer cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 :)
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