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Matemática 51
2024
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
5.
Hallar la funcion derivada de $f(x)$.
g) $f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}$
g) $f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}$
Respuesta
Podemos expresarlo de la siguiente manera:
$f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$
La derivada del tangente es el secante al cuadrado:
$f'(x) = \sec^2(x)$
También se puede aplicar la regla de cociente:
$ f'(x) = \frac{(\operatorname{sen}(x))' \cos (x) - \operatorname{sen}(x) (\cos (x))')}{(\cos (x))^2} $
$ f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)} $
$ f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $
Usando la identidad trigonométrica fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, obtenemos:
$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}. $
Esto es precisamente el cuadrado del secante de x:
$ f'(x) = \sec^2(x). $