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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO

Práctica 5: Derivadas

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5. Hallar la funcion derivada de f(x)f(x).
g) f(x)=sen⁡(x)cos⁡(x)f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}

Respuesta

Podemos expresarlo de la siguiente manera:

f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)
La derivada del tangente es el secante al cuadrado:
f′(x)=sec⁡2(x)f'(x) = \sec^2(x)


También se puede aplicar la regla de cociente:


f′(x)=(sen⁡(x))′cos⁡(x)−sen⁡(x)(cos⁡(x))′)(cos⁡(x))2 f'(x) = \frac{(\operatorname{sen}(x))' \cos (x) - \operatorname{sen}(x) (\cos (x))')}{(\cos (x))^2}  


f′(x)=cos⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)(−sin⁡(x))cos⁡2(x) f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}

f′(x)=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x) f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Usando la identidad trigonométrica fundamental sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1, obtenemos:
f′(x)=1cos⁡2(x). f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}.
Esto es precisamente el cuadrado del secante de x:
f′(x)=sec⁡2(x). f'(x) = \sec^2(x).
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