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En este problema tenemos dos funciones involucradas:
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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
Práctica 10: Aplicaciones de la Integral
1.
Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
a) $f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x-2, x=0$
a) $f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x-2, x=0$
Respuesta
Aclaración por las dudas: Antes de encarar esta guía es clave que primero hayas visto al menos un par de clases de cálculo de áreas. Vamos a seguir los mismos pasos que vimos en esas clases :)
$f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x - 2$
Además, nos imponen el límite de integración $x=0$.
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$\sqrt{x} = x - 2$
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$x = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Si resolvemos esta ecuación cuadrática, llegamos a las soluciones $x=1$ y $x=4$.
Ahora, mucha atención acá. Si estas dos soluciones que obtuvimos las reemplazamos en la ecuación
$\sqrt{x} = x - 2$
vemos que con $x=4$ efectivamente se verifica la igualdad, pero con $x=1$ no! En ese caso obtenemos $1 = -1$ que es un absurdo. Esta solución nos apareció después de haber elevado al cuadrado ambos miembros, pero no es solución de la ecuación original (de hecho, probá de graficar en GeoGebra ambas funciones y vas a ver que efectivamente sólo se intersecan en $x=4$)
Por lo tanto, nuestro punto de intersección es $x=4$
2) Techo y piso
Tenemos entonces un límite de integración que nos imponía el enunciado, $x=0$, y un punto de intersección que encontramos nosotrxs, $x=4$.
En el intervalo $(0,4)$, si evaluamos ambas funciones en algún $x$ de ese intervalo, podemos ver que $f$ es techo y $g$ es piso.
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx$
Muy importante que no te olvides de ese paréntesis!
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - x + 2) \, dx$
Calculamos la integral:
$\int_{0}^{4} (\sqrt{x} - x + 2) \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 + 2x \Big|_{0}^{4} = \frac{16}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{16}{3}$