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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
c) f(x)=x3−12x,g(x)=x2f(x)=x^{3}-12 x, g(x)=x^{2}

Respuesta

Tenemos las funciones:
f(x)=x3−12x f(x) = x^3 - 12x
g(x)=x2 g(x) = x^2

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg 
Igualamos f(x)f(x) y g(x)g(x) para encontrar los puntos de intersección:
x3−12x=x2 x^3 - 12x = x^2
x3−x2−12x=0 x^3 - x^2 - 12x = 0 Sacamos factor común xx
x(x2−x−12)=0 x(x^2 - x - 12) = 0 Igualamos cada factor a cero, y las soluciones de esta ecuación son:
x=0 x = 0 x=4 x = 4 x=−3 x = -3
Entonces, los puntos de intersección son x=−3x = -3, x=0x = 0 y x=4x = 4. 2) Techo y piso En el intervalo (−3,0)(-3,0) -> ff es techo y gg es piso

En el intervalo (0,4)(0,4) -> gg es techo y ff es piso 3) Planteamos la integral del área En este caso tenemos que dividir el área en dos partes: desde −3-3 hasta 00 y desde 00 hasta 44. A=∫−30(f(x)−g(x)) dx+∫04(g(x)−f(x)) dx A = \int_{-3}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx

A=∫−30((x3−12x)−x2) dx+∫04(x2−(x3−12x)) dx A = \int_{-3}^{0} \left( (x^3 - 12x) - x^2 \right) \, dx + \int_{0}^{4} \left( x^2 - (x^3 - 12x) \right) \, dx

Para no hacer esto tan cuentoso, y también te lo recomiendo a vos en tu hoja y en el parcial, cuando te queda así más de una integral, podemos calcular cada una por separado y el resultado final va a salir de sumar ambas. 

Integral 1

∫−30(x3−x2−12x) dx \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx

La resolvemos:

∫−30 (x3−x2−12x) dx=x44−x33−6x2∣−30=994 \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 6x^2 \Big|_{-3}^{0} = \frac{99}{4}

Integral 2

∫04 (−x3+x2+12x) dx=−x44+x33+6x2∣04=1603 \int_{0}^{4} (-x^3 + x^2 + 12x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + 6x^2 \Big|_{0}^{4} = \frac{160}{3}

Juntamos ambos resultados:

A=∫−30((x3−12x)−x2) dx+∫04(x2−(x3−12x)) dx= 994+ 1603=93712 A = \int_{-3}^{0} \left( (x^3 - 12x) - x^2 \right) \, dx + \int_{0}^{4} \left( x^2 - (x^3 - 12x) \right) \, dx = \frac{99}{4} + \frac{160}{3} = \frac{937}{12}
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