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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
c) $f(x)=x^{3}-12 x, g(x)=x^{2}$
c) $f(x)=x^{3}-12 x, g(x)=x^{2}$
Respuesta
Tenemos las funciones:
Reportar problema
$ f(x) = x^3 - 12x $
$ g(x) = x^2 $
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
Igualamos $f(x)$ y $g(x)$ para encontrar los puntos de intersección:
$ x^3 - 12x = x^2 $
$ x^3 - x^2 - 12x = 0 $
Sacamos factor común $x$
$ x(x^2 - x - 12) = 0 $
Igualamos cada factor a cero, y las soluciones de esta ecuación son:
$ x = 0 $
$ x = 4 $
$ x = -3 $
Entonces, los puntos de intersección son $x = -3$, $x = 0$ y $x = 4$.
2) Techo y piso
En el intervalo $(-3,0)$ -> $f$ es techo y $g$ es piso
En el intervalo $(0,4)$ -> $g$ es techo y $f$ es piso
3) Planteamos la integral del área
En este caso tenemos que dividir el área en dos partes: desde $-3$ hasta $0$ y desde $0$ hasta $4$.
$ A = \int_{-3}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx $
$ A = \int_{-3}^{0} \left( (x^3 - 12x) - x^2 \right) \, dx + \int_{0}^{4} \left( x^2 - (x^3 - 12x) \right) \, dx $
Para no hacer esto tan cuentoso, y también te lo recomiendo a vos en tu hoja y en el parcial, cuando te queda así más de una integral, podemos calcular cada una por separado y el resultado final va a salir de sumar ambas.
Integral 1
$ \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx $
La resolvemos:
$ \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 6x^2 \Big|_{-3}^{0} = \frac{99}{4}$
Integral 2
$ \int_{0}^{4} (-x^3 + x^2 + 12x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + 6x^2 \Big|_{0}^{4} = \frac{160}{3}$
Juntamos ambos resultados:
$ A = \int_{-3}^{0} \left( (x^3 - 12x) - x^2 \right) \, dx + \int_{0}^{4} \left( x^2 - (x^3 - 12x) \right) \, dx = \frac{99}{4} + \frac{160}{3} = \frac{937}{12}$