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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
f) f(x)=(1−x)2f(x)=(1-\sqrt{x})^{2}, eje xx, eje yy

Respuesta

En este problema, tenemos la funciones f(x)=(1−x)2 f(x) = (1 - \sqrt{x})^2 y g(x)=0 g(x) = 0 (el eje xx) y, por otro lado, el eje y y , que sería x=0 x = 0 , me está imponiendo un límite de integración. 1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg
(1−x)2=0 (1 - \sqrt{x})^2 = 0 Tomamos raíz cuadrada en ambos miembros: ∣1−x∣=0|1 - \sqrt{x}| = 0

x=1\sqrt{x} = 1

x=1x = 1 Por lo tanto, en x=1x=1 ambas funciones se intersecan. Además teníamos un límite de integración impuesto, que era x=0x=0. Así que ahora vamos a evaluar quién es techo y quién es piso en el intervalo (0,1)(0,1) 2) Techo y piso En el intervalo [0,1) [0, 1) -> ff es techo y el eje xx es piso 3) Planteamos la integral del área A=∫01f(x) dx=∫01(1−x)2 dx A = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x})^2 \, dx

Si expandimos ese cuadrado, usando la fórmula para el cuadrado del binomio (que te la recuerdo por acá, por las dudas jaja...)

(a−b)2=a2−2ab+b2(a- b)^2 = a^2 -2ab + b^2

nos queda: A=∫01(1−2x+x) dx A = \int_{0}^{1} (1 - 2\sqrt{x} + x) \, dx Y ahora si resolvemos esta integral:

A=∫01(1−2x+x) dx=x−43x3/2+x22 ∣01=16 A = \int_{0}^{1} (1 - 2\sqrt{x} + x) \, dx = x - \frac{4}{3} x^{3/2} + \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{6}
Por lo tanto, el área encerrada es 16\frac{1}{6}.
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