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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
h) $f(x)=x^{2}-4$, eje $x$

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:

$f(x)=x^{2}-4$

$g(x) = 0$ (el eje $x$)

1) Buscamos los puntos de intersección entre \( f(x) \) y el eje \( x \) $x^2 - 4 = 0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos que los puntos de intersección son \( x = -2 \) y \( x = 2 \). 2) Techo y piso En el intervalo \([-2, 2]\) -> El eje \( x \) es techo y \( f(x) = x^2 - 4 \) es piso. 3) Planteamos la integral del área $ A = \int_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{-2}^{2} [0 - (x^2 - 4)] \, dx = \int_{-2}^{2} -x^2 + 4 \, dx $

Atenti ese paréntesis después del $-$, no te lo olvides! Calculamos la integral:

$A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4x \Big|_{-2}^{2} = \frac{32}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada entre la función \( f(x) = x^2 - 4 \) y el eje \( x \) es \( \frac{32}{3} \).
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Avatar Matias 14 de junio 20:25
hola buenas noches flor, porque el 0 no cuenta como punto de intersección del eje x? 
Avatar Flor Profesor 15 de junio 19:24
@Matias Hola Mati! Ay, a ver si entendí... o sea, cuando nosotros buscamos los puntos de intersección entre las dos funciones $f$ (la del enunciado) y $g$ (el eje x), tenemos que resolver esta ecuación

$x^2 - 4 = 0$

Las soluciones de esta ecuación son $x=2$ y $x=-2$, o sea, $x=0$ no es solución, no es punto de intersección 
Avatar Katty 2 de noviembre 20:27
hola buenas noches flor, consulta porque el eje de x es techo y f(x) es piso no lo entiendo

Avatar Flor Profesor 4 de noviembre 08:02
@Katty Hola Katty! Fijate que si elegimos un número entre -2 y 2, por ejemplo $x=0$ y evaluamos en cada una nos queda:

$g(0) = 0$

$f(0) = 0^2 - 4 = -4$

Entonces, como $g(0) > f(0)$, el eje x (g) es techo y f es piso :)
Avatar Katty 4 de noviembre 11:42
@Flor gracias 😊
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