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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
i) f(x)=x3f(x)=x^{3}, eje y,y=27y, y=27

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:
f(x)=x3 f(x) = x^3
g(x)=27 g(x) = 27 Además, nos imponen el límite de integración x=0 x = 0 (es el eje yy) 1) Buscamos los puntos de intersección entre f f y g g Igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección:

x3=27 x^3 = 27 x=3 x = 3 Por lo tanto, el punto de intersección es x=3 x = 3 . 2) Techo y piso En el intervalo [0,3) [0, 3) , g(x)=27 g(x) = 27 es techo y f(x)=x3 f(x) = x^3 es piso. 3) Planteamos la integral del área A=∫03(g(x)−f(x)) dx=∫03(27−x3) dx A = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} (27 - x^3) \, dx Calculamos la integral: ∫03 (27−x3) dx=(27x−x44)∣03=2434 \int_{0}^{3} (27 - x^3) \, dx = \left( 27x - \frac{x^4}{4} \right) \Big|_{0}^{3} = \frac{243}{4}
Por lo tanto, el área encerrada es  2434  \frac{243}{4} .
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