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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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8. Calcule el área de la región encerrada entre el gráfico de f(x)=x(x−1)(x−4)f(x)=x(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-4) y el eje xx.

Respuesta

En este ejercicio también tenemos dos funciones involucradas, una es f(x)f(x) y la otra es el eje xx. Arrancamos igualando ambas para buscar los puntos de intersección:

x(x−1)(x−4)=0x(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-4) = 0

No toques más nada, ya nos la dan regalada como un producto de cosas que nos da cero! Hacemos como siempre, igualamos cada factor a cero y de ahí salen las soluciones! Si hacés eso, llegas a que las soluciones son x=0x=0, x=1x=1 y x=16x=16. 

Ahora, en cada intervalo que nos quedó, nos fijamos quién es techo y quién es piso:

En el intervalo (0,1)(0,1) -> ff es techo

En el intervalo (1,16)(1,16) -> ff es piso

Con esta información nos armamos nuestra integral del área:

A=∫01x(x−1)(x−4) dx−∫116x(x−1)(x−4) dx A = \int_{0}^{1} x(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4) \, dx - \int_{1}^{16} x(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4) \, dx

Ahora, antes de lanzarnos a calcular esa integral así como está, pensemos un poco, miremos fijo lo que tenemos ahí adentro de la integral... si hacemos las distributivas y usamos reglas de potencias (hace las cuentas despacito), lo podemos reescribir así:
x(x−1)(x−4)= x2−5x3/2+4xx(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4) = x^2 - 5x^{3/2} + 4x

Entonces, la integral del área nos queda:

A=∫01(x2−5x3/2+4x) dx−∫116(x2−5x3/2+4x) dx A = \int_{0}^{1} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx - \int_{1}^{16} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx

Y ahora esto lo podemos integrar re fácil. Calculamos primero la integral indefinida:

∫(x2−5x3/2+4x) dx=x33−2x5/2+2x2+C \int (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^{5/2} + 2x^2 + C

(Así te queda después de simplificar eh)

Ahora usando este resultado calculamos cada integral definida que nos quedó:

∫01(x2−5x3/2+4x) dx=x33−2x5/2+2x2∣01=13\int_{0}^{1} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^{5/2} + 2x^2 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}

∫116(x2−5x3/2+4x) dx=x33−2x5/2+2x2∣116=−171 \int_{1}^{16} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^{5/2} + 2x^2 \Big|_{1}^{16} = -171

Listoooo, juntamos ahora los resultados!

A=∫01(x2−5x3/2+4x) dx−∫116(x2−5x3/2+4x) dx=13−(−171)= 13+171=5143  A = \int_{0}^{1} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx - \int_{1}^{16} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{1}{3} - (-171) = \frac{1}{3} + 171 = \frac{514}{3} 
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