Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8. Calcule el área de la región encerrada entre el gráfico de $f(x)=x(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-4)$ y el eje $x$.
Respuesta
En este ejercicio también tenemos dos funciones involucradas, una es $f(x)$ y la otra es el eje $x$. Arrancamos igualando ambas para buscar los puntos de intersección:
Reportar problema
$x(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-4) = 0$
No toques más nada, ya nos la dan regalada como un producto de cosas que nos da cero! Hacemos como siempre, igualamos cada factor a cero y de ahí salen las soluciones! Si hacés eso, llegas a que las soluciones son $x=0$, $x=1$ y $x=16$.
Ahora, en cada intervalo que nos quedó, nos fijamos quién es techo y quién es piso:
En el intervalo $(0,1)$ -> $f$ es techo
En el intervalo $(1,16)$ -> $f$ es piso
Con esta información nos armamos nuestra integral del área:
$
A = \int_{0}^{1} x(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4) \, dx - \int_{1}^{16} x(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4) \, dx
$
Ahora, antes de lanzarnos a calcular esa integral así como está, pensemos un poco, miremos fijo lo que tenemos ahí adentro de la integral... si hacemos las distributivas y usamos reglas de potencias (hace las cuentas despacito), lo podemos reescribir así:
$x(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 4) = x^2 - 5x^{3/2} + 4x$
Entonces, la integral del área nos queda:
$
A = \int_{0}^{1} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx - \int_{1}^{16} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx
$
Y ahora esto lo podemos integrar re fácil. Calculamos primero la integral indefinida:
$
\int (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^{5/2} + 2x^2 + C
$
(Así te queda después de simplificar eh)
Ahora usando este resultado calculamos cada integral definida que nos quedó:
$\int_{0}^{1} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^{5/2} + 2x^2 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$
$
\int_{1}^{16} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^{5/2} + 2x^2 \Big|_{1}^{16} = -171
$
Listoooo, juntamos ahora los resultados!
$
A = \int_{0}^{1} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx - \int_{1}^{16} (x^2 - 5x^{3/2} + 4x) \, dx = \frac{1}{3} - (-171) = \frac{1}{3} + 171 = \frac{514}{3} $