Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

Anterior Siguiente

10. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de $f(x)=x e^{2 x}$ y $g(x)=x e^{x+3}$.

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:

$f(x)=x e^{2 x}$ y $g(x)=x e^{x+3}$      

Arrancamos buscando los puntos de intersección entre ambas:

$x e^{2 x} = x e^{x+3}$

$x e^{2 x} - x e^{x+3} = 0$

Saco factor común $x$

$x \cdot (e^{2 x} - e^{x+3}) = 0$

Por lo tanto, $x=0$ ya es solución, y las otras soluciones van a salir de igualar el paréntesis a cero:

$e^{2 x} - e^{x+3} = 0$

$e^{2 x} = e^{x+3}$

Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros

$2x = x + 3$

$x = 3$

Por lo tanto, estas funciones se cortan en $x=0$ y $x=3$

Ahora, en el intervalo $(0,3)$ nos fijamos quién es techo y quién es piso -> $g$ es techo y $f$ es piso

Con esta información nos armamos nuestra integral del área:

$ A = \int_{0}^{3} (x e^{x+3} - x e^{2x}) \, dx $

$ A = \int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx - \int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx $

Calculamos cada integral por separado en un cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar 1:

$\int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx$

Arrancamos primero calculando la integral indefinida:

$\int x e^{x+3} \, dx$

Esta es una típica integral que sale por partes. Recordemos como siempre:
$\int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g'$ En este caso tomamos: $g = x \rightarrow g' = 1$
$f' = e^{x+3} \rightarrow f = e^{x+3}$

(Ojo acá, para pasar de $f'$ a $f$ aplicamos sustitución tomando $u=x+3$) Reemplazamos en la fórmula de partes y obtenemos: $\int x \, e^{x+3} \, dx = x \, e^{x+3} - \int e^{x+3} \, dx$ $\int x \, e^{x+3} \, dx = x \, e^{x+3} - e^{x+3} + C$

Ahora aplicamos Barrow:

$\int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx = x \, e^{x+3} - e^{x+3} \Big|_{0}^{3} = 2e^6 + e^3$


Cálculo auxiliar 2:

$\int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx$

Resolvemos primero esta integral indefinida:

$\int x e^{2x} \, dx$

Esta integral también sale por partes. En este caso tomamos:
$ g = x \rightarrow g' = 1$ $ f' = e^{2x} \rightarrow f = \frac{1}{2} e^{2x} $

(Para pasar de $f'$ a $f$ aplicas sustitución tomando $u = 2x$) Reemplazamos en la fórmula de partes y obtenemos: $\int x \, e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \, dx $ $\int x \, e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C $ $\int x \, e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$
$\int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \Big|_{0}^{3} = \frac{5}{4} e^{6} + \frac{1}{4}$

Listoooo, juntamos ahora los resultados de ambos cálculos auxiliares:

$ A = \int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx - \int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx = 2e^6 + e^3 - (\frac{5}{4} e^{6} + \frac{1}{4})$

Y este es el resultado del área que estábamos buscando :)

Aclaración por las dudas: El resultado ya está, si quisieras podés por ejemplo distribuir ese $-$ que está adelante del paréntesis y reescribirlo un poco, pero no es necesario, si querés lo podés dejar así y ya está, eso es un número (y positivo, de paso, así que todo perfecto!)
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.