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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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1. Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
a) 1−13+15−17+19−…1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots

Respuesta

¡Arrancamos con Series! Y lo primero que tengo para decirte de este ejercicio es que: A no desesperar jaja... Este problema no tiene nada que ver con el enfoque que después van a tener los ejercicios en el parcial. La idea de este ejercicio es que, en vez de darnos la serie, nos están dando los primeros términos y a partir de ellos tenemos que deducir de qué serie se tratará. A veces esto va a ser más fácil y otras veces va a ser muy poco intuitivo, por eso repito, no desesperes si en alguno no lo ves enseguida, nadie te va a preguntar algo así en un parcial. 

Hecha esta aclaración, arrancamos con el primer item. 

La serie que nos dan es:
1−13+15−17+19−… 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots

Lo primero que notamos es que, si arrancamos en n=0n=0, los denominadores parecen ser 2n+12n+1. Y además, cada termino va alternando el signo, así que seguramente vamos a tener un (−1)n(-1)^n en el término general de la serie, para que justamente ocurra esto. Mirá, vamos a verlo despacito con los primeros términos para ver si nuestra deducción funciona:

- Para n=0n = 0:
a0=(−1)012⋅0+1=1 a_0 = (-1)^0 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 1
- Para n=1n = 1:
a1=(−1)112⋅1+1=−13 a_1 = (-1)^1 \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = -\frac{1}{3}
- Para n=2n = 2:
a2=(−1)212⋅2+1=15 a_2 = (-1)^2 \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{5}
- Para n=3n = 3:
a3=(−1)312⋅3+1=−17 a_3 = (-1)^3 \frac{1}{2 \cdot 3 + 1} = -\frac{1}{7}

y así podríamos seguir... 

Por lo tanto, esta serie la podríamos escribir así:

∑n=0∞(−1)n12n+1 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n + 1}
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