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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

1. Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
b) 1+13+17+115+131+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{15}+\frac{1}{31}+\ldots

Respuesta

La serie ahora es:
1+13+17+115+131+ 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{15} + \frac{1}{31} + \ldots

Esos denominadores parecen seguir un patrón y eso es justamente lo que tenemos que tratar de darnos cuenta. Repito, como te decía en el item anterior, esto puede ser muy poco intuitivo y, depende de la facilidad de cada uno para esto, puede ser que te des cuenta más rápido o que estes mucho tiempo mirando la expresión sin avivarte como escribirla de manera general.  En este caso, vamos a ver juntos que los denominadores son números de la forma 2n12^n - 1, donde nn comienza desde 1. Mirá: - Para el primer término, n=1n = 1, el denominador es 211=12^1 - 1 = 1
- Para el segundo término, n=2n = 2, el denominador es 221=32^2 - 1 = 3
- Para el tercer término, n=3n = 3, el denominador es 231=72^3 - 1 = 7
- Para el cuarto término, n=4n = 4, el denominador es 241=152^4 - 1 = 15
- Para el quinto término, n=5n = 5, el denominador es 251=312^5 - 1 = 31

y así podríamos seguir... Una vez que nos dimos cuenta de este patrón, podemos escribir nuestra serie así:

n=1 12n1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1}
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