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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
c) $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\ldots$
c) $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\ldots$
Respuesta
Esta es una serie geométrica, y quizás te resulte un poco más intuitivo una vez que empecemos a trabajar con este tipo de series, pero se trata de esta:
Reportar problema
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n$
Fijate para convencerte que...
- El primer término es \( a_0 = (\frac{2}{3})^0 = 1 \)
- El segundo término es \( a_1 = (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \)
- El tercer término es \( a_2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} \)
- El cuarto término es \( a_3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} \)
y así podríamos seguir...
Como vimos en la clase de series geométricas, en este caso podemos calcular la suma y sabemos que el resultado va a estar dado por:
$ \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 $
(porque en este caso $r$ es $\frac{2}{3}$)
Por lo tanto, la serie que estábamos buscando es esta serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n$ y la suma nos da $3$.