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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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1. Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
d) $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\ldots$

Respuesta

De nuevo, para encontrar el término general de la serie, tenemos que tratar de encontrar algún patrón que sigan esos denominadores.
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \ldots $

Fijate que los denominadores parecen ser productos de dos números consecutivos, mirá: - \(2 = 1 \cdot 2\)
- \(6 = 2 \cdot 3\)
- \(12 = 3 \cdot 4\)
- \(20 = 4 \cdot 5\)
- \(30 = 5 \cdot 6\)
y así... 

Entonces, podríamos escribir nuestra serie de esta manera:

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} $

Y esta serie es una típica serie telescópica: Si la descomponemos en dos fracciones nos queda...

$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) $ 

es decir, es de la forma

$ \sum_{n=1}^\infty a_n - a_{n+1}$

así que si, efectivamente es una serie telescópica :)

En este caso, la suma va a estar dada por:

$\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1}$

Como en este caso $a_n = \frac{1}{n}$, entonces:

$a_1 = 1 $

$a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$

Volvemos:

 $\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = 1$

Por lo tanto, esta suma nos da $1$. 
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Avatar Anonimus 26 de junio 13:04
Hola profee. Una pregunta, esta serie también podría quedar como 1/[(n+2).(n+1)] ? comenzando la serie desde n=0. Gracias!
Avatar Flor Profesor 26 de junio 16:42
@Anonimus Hola! Exactooooo :) Porque seguimos teniendo en el denominador el producto de dos números consecutivos, en este caso $(n+1)$ y $(n+2)$. Pero como vos muy bien dijiste, en este caso tenemos que arrancar la sumatoria desde $n = 0$. Impecableeee, bien razonado :D
Avatar Anonimus 28 de junio 11:33
Gracias jaja, pero en ese caso ya no sería una telescópica no? Depende como la escribamos entonces :)
Avatar Leon 20 de junio 10:21
hola disculpas, puede ser que no se explicó la serie telescopica en los videos? o yo me lo perdÍ? desde ya gracias
Avatar Flor Profesor 21 de junio 09:13
@Leon Hola León! Nooo, para serie telescópica no armé una clase aparte. Aparece en este ejercicio y después en dos items del ejercicio 2, y si no me equivoco ya no vuelven a aparecer. O sea, una serie telescópica es algo de la forma 

$ \sum_{n=1}^\infty a_n - a_{n+1}$

que siempre por lo general te la van a dar escrita como algo así:

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} $

y vos tenés que reescribirla para que quede claro quién es $a_n$ y que efectivamente tenés restando a $a_{n+1}$

$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) $ 

y para calcular la suma hacés:

$\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1}$

(va $a_1$ porque la suma arranca en $n = 1$, si arrancara en otro $n$, por ejemplo $n = 3$, ahi iría $a_3$)

Fijate que en el Ejercicio 2 tenés dos ejemplos más y posta que no es más que esto, avisame si se entiende!
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