Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

Anterior Siguiente
2. Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
a) ∑n=1∞13n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}

Respuesta

Para encarar estos ejercicios es imprescindible que primero hayas visto la clase de Serie geométrica. Acá vamos a usar todo lo que vimos en esa clase para poder calcular estas sumas :)

La clave en estos ejercicios va a estar en reescribir la serie que nos dan para que nos aparezca una serie geométrica, de la cual sabemos calcular su suma. Refresquemos por las dudas jaja

∑n=0∞rn=11−r \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}

Entonces, si manipulamos un poco la serie que nos dan, mirá como nos queda:

∑n=1∞13n+1=∑n=1∞13⋅3n=13⋅∑n=1∞(13)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 \cdot 3^n} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n

Y ahí nos apareció la serie:

∑n=1∞(13)n\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n

con r=13r = \frac{1}{3} de la cual sabemos calcular su suma. Pero ojoooo, esta serie arranca en n=1n = 1, y nosotrxs la suma que sabemos calcular es esta:

∑n=0∞(13)n=11−13=32\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

es decir, arrancando desde n=0n = 0. Pero no importa, como vimos en la clase, siempre podemos hacer esto:

(13)0+∑n=1∞(13)n=32(\frac{1}{3})^0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2}

1+ ∑n=1∞(13)n=32 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2}

∑n=1∞(13)n= 32−1=12\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}

Entonces, con este resultado tenemos que:

13⋅∑n=1∞(13)n=13⋅12=16\frac{1}{3} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

Por lo tanto, la serie ∑n=1∞13n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}} converge a 16\frac{1}{6}
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Cos
19 de junio 15:48
Converge a 1/6 puede ser? Tenes que multiplicar por 1/3 al final puede ser?
0 Responder
Flor
PROFE
19 de junio 16:38
@Cos Siiiii, me comí el 1/31/3 que había sacado afuera de la serie! jaja gracias por avisarme, ya lo edito! ;)
0 Responder