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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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2. Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}$

Respuesta

En este caso estamos frente a una serie telescópica. Fijate que si la descomponemos en fracciones simples nos queda:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n - a_{n+1} $

Aclaración por las dudas: Para pasar de $\frac{2}{n(n+1)}$ a $\frac{2}{n} - \frac{2}{n+1}$ usas lo mismo que vimos en el método de integración por fracciones simples, sólo que acá no vamos a calcular ninguna integral, pero lo reescribimos usando esos razonamientos. 

Para calcular la suma de una serie telescópica lo hacemos así:

$\lim_{n \to \infty} a_1 - a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} 2 - \frac{2}{n+1} = 2$

Por lo tanto, la suma de esta serie nos da $2$.
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Avatar Maggui 23 de junio 18:21
hola flor, una consulta, todavia no me quedan del todo claro fracciones simples entonces no entiendo porqué quedaria 2/n - 2/n+1 en vez de 2/n + 2/n+1
Avatar Flor Profesor 23 de junio 19:19
@Maggui Hola Maggi! Vos querés reescribir $\frac{1}{n(n+1)}$, entonces en principio planteas:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$

hasta ahí vamos bien? 

Ahí procedes como vimos en fracciones simples (multipicas ambos miembros por $n(n+1)$ y te queda:

$1 = A(n+1) + B \cdot n$

Hacés distributiva:

$1 = An + A + Bn$

$1 = (A + B) \cdot n + A$

Igualas y te queda:

$A = 1$

$A + B = 0$, por lo tanto $B = -A = -1$

Entonces, ahora cuando reemplazas tenés:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{-1}{n+1}$

que directamente lo escribis como:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

por eso te aparece ese signo $-$ ahí. Atenti que después ahi tenías un 2 multiplicando que hacés distributiva y por eso te aparece en los dos términos ;)

Tranqui igual con esto, fracciones simples nunca vi que aparezca en un parcial de los últimos años de cátedra única, y serie telescópica lo tomaron una vez el 1er cuatri 2023 en algunas comisiones (era literal este ejercicio, no algo más difícil), pero porque no llegaron a tiempo a ver serie de potencias (que es el tema de series de parcial). (Esto lo sé de primera mano porque eran alumnos particulares míos jaja)
Avatar Maggui 23 de junio 19:54
muchísimas gracias!!
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