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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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2. Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
e) ∑n=4∞1n(n−1)\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}

Respuesta

Esta también es una serie telescópica, usamos los mismos razonamientos que aplicamos en el item anterior. Arrancamos reescribiendo el término general en fracciones simples:

∑n=4∞1n(n−1)= ∑n=4∞ 1n−1 −1n= ∑n=4∞an−an+1\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)} = \sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n-1} -\frac{1}{n} = \sum_{n=4}^{\infty} a_n - a_{n+1}

Ahora calculamos la suma, atenti que el primer término es a4a_4 

lim⁡n→∞a4−an+1= lim⁡n→∞13 − 1n =13\lim_{n \to \infty} a_4 - a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} - \frac{1}{n} = \frac{1}{3}
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Anonimus
28 de junio 17:20
Hola profee. No entiendo como sale el - del final, osea en 1/n-1 (justo antes del resultado).
El último termino que sobrevive de la serie cuando "k=n" en este caso no sería 1/n? Para que quede lim n->+♾️ 1/3 - 1/n. Muchas gracias!
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Flor
PROFE
29 de junio 9:14
@Anonimus Holaaaa! Ayyyy tenés razón, mala mía, me confundí yo cuando reemplacé al final. En este caso an+1a_{n+1} es 1n\frac{1}{n}. Ahí lo acabo de editar, gracias por avisarme! 
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