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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}$
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}$
Respuesta
Para resolver este ejercicio vamos a usar lo que vimos en la clase Series Positivas (Parte 2), así que es clave que la hayas mirado antes de encarar estos problemas. En este caso queremos ver si la serie
Reportar problema
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}$
converge o diverge.
En primer lugar, chequeamos que efectivamente cumple con la condición necesaria de convergencia, así que tenemos que desplegar nuestras herramientas para series positivas para ver si converge o no.
En este caso, como vimos en la clase, vamos a arrancar primero entendiendo que nuestra serie, cuando $n$ sea muuuuuy grande, se va a comportar como:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
Aclaración recontra importante en este punto: Esto por favor no lo escriban así en el parcial eh, es recontra informal para que ustedes entiendan por dónde viene la mano y por qué elijo específicamente esta serie para compararla y por qué sospecho que se va a comportar como la mía.
Ustedes esto si quieren se lo escriben sólo en su hoja borrador, pero en la hoja del parcial ponen directamente algo así como:
Sospecho que esta serie se va a comportar igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$, que es una serie que sabemos que converge por ser una serie $p$ con $p > 1$. Entonces, vamos a comparar nuestra serie con $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ usando el criterio de comparación vía límite:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^{3}+1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^3+1} \cdot \frac{n^2}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+1} = 1$
Como el resultado del límite nos dio $>0$, entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.