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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
c) ∑n=1∞n3+14n4+5n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}

Respuesta

En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:

∑n=1∞n3+14n4+5n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}

sospechamos que cuando nn sea muuuy grande, se va a comportar igual que ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, que es una serie que sabemos que diverge por ser una serie pp con p≤1p \leq 1. 

Entonces, vamos a comparar nuestra serie con ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} usando el criterio de comparación vía límite:

lim⁡n→∞n3+14n4+5n−11n= lim⁡n→∞ n4+n4n4+5n−1=14\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4 + n}{4 n^{4}+5 n-1} = \frac{1}{4}

Como el resultado del límite nos dio >0>0, entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie diverge.
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valentina
29 de junio 17:49
Hola Flor! como andas? consulta, no me quedo claro como elegir la serie con la que la voy a comparar? por que no podría compararla con 1/n²? 
graciass
0 Responder
Flor
PROFE
30 de junio 12:10
@valentina Hola Valen! Fijate en la clase "Series positivas (parte 2) Criterios de comparación", que justo a partir del minuto 2:00 está explicado esto con un ejemplo muy muy parecido... 

Acá en este caso lo razonamos igual que en el ejemplo que yo les mostraba en ese clase... Cuando nn sea muy grande, en el numerador va a dominar n3n^3 y en el denominador n4n^4, es decir, podemos sospechar fuertemente que nuestra serie se va a comportar igual que

∑n=1∞n3n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^4}

y si simplificas te queda:

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ;)

Avisame si ahi queda más claro!
0 Responder
valentina
1 de julio 10:18
Graciass!!!
0 Responder