Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

Anterior Siguiente
4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
h) ∑n=1∞2+sin⁡3(n)2n+n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}

Respuesta

En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:

∑n=1∞2+sin⁡3(n)2n+n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}

podemos sospechar que, cuando nn sea muuuy grande, se va a comportar igual que

∑n=1∞12n= ∑n=1∞(12)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n

que sabemos que converge por ser una serie geométrica con r<1r < 1

En este caso podemos usar el criterio de comparación directa, que también vimos en la segunda clase de Series positivas. En este caso fijate que:

2+sin⁡3(n)≤3 2 + \sin^3(n) \leq 3 (porque acordate que el seno oscila entre 11 y −1-1)

y además

2n+n2≥2n 2^n + n^2 \geq 2^n

Entonces, podemos afirmar que:

2+sin⁡3(n)2n+n2≤32n \frac{2 + \sin^3(n)}{2^n + n^2} \leq \frac{3}{2^n}

Y la serie ∑n=1∞ 32n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^n}, que también la podemos escribir como 3 ∑n=1∞ (12)n3 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n, sabemos que converge. Entonces, por el criterio de comparación directa podemos afirmar que nuestra serie también converge.
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Maggui
24 de junio 18:34
hola Flor, una pregunta, por qué comparas 2^n+ n^2 con 2^n? o sea por qué se compara con 2^n y no otro numero?
0 Responder
Flor
PROFE
25 de junio 9:26
@Maggui Hola Maggi! Porque fijate que, nosotros cuando nos imaginamos que va a pasar cuando nn sea muuuuy grande, pensamos en "quién manda"... en el denominador 2n2^n le recontra gana a cualquier polinomio, como n2n^2. Acordate de sucesiones que, tener la nn en el exponente le gana a los polinomios (o sea, "es el que manda") y a su vez el que le ganaba a todos era n!n!. Entonces, cuando nn sea muy grande, ese n2n^2 va a ser despreciable ahí sumando, asi que va a ser casi como tener únicamente 2n2^n. 
0 Responder
Leon
20 de junio 15:04
buenas, una pregunta, no se podria usar el criterio de paso al limite de una? sin tener que usar el de comparación directa antes
0 Responder
Flor
PROFE
21 de junio 9:37
@Leon Hola León! Sisi, con el criterio del paso al límite también lo podés justificar, sale por cualquiera de los dos :)
0 Responder