Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

Anterior Siguiente
4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$

Respuesta

En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$

podemos sospechar que, cuando $n$ sea muuuy grande, se va a comportar igual que

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$

que sabemos que converge por ser una serie geométrica con $r < 1$

En este caso podemos usar el criterio de comparación directa, que también vimos en la segunda clase de Series positivas. En este caso fijate que:

$ 2 + \sin^3(n) \leq 3 $ (porque acordate que el seno oscila entre $1$ y $-1$)

y además

$ 2^n + n^2 \geq 2^n $

Entonces, podemos afirmar que:

$ \frac{2 + \sin^3(n)}{2^n + n^2} \leq \frac{3}{2^n} $

Y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^n}$, que también la podemos escribir como $3 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$, sabemos que converge. Entonces, por el criterio de comparación directa podemos afirmar que nuestra serie también converge.
Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Agustina 29 de junio 03:23
Hola Flor, no hace falta evaluar la condicion de necesidad de convergencia? En cuales casos si?
Avatar Agustina 29 de junio 03:31
@Agustina por que omitimos el 3 en el numerador para sospechar que la serie actua como 1/(n^2) y solo se considera en el paso de comparacion directa?
Avatar Flor Profesor 29 de junio 11:50
@Agustina Hola Agus! La condición necesaria de convergencia está siempre presente... siempre siempre que miras una serie lo pensás, lo que pasa es que no siempre lo terminás escribiendo explicitamente

Por ejemplo, en este caso tenemos una serie geométrica con $r < 1$, que ya sabemos que convergen... bueno, obviamente la condición necesaria se cumple, ese límite da cero, pero no lo escribi explicitamente, ya nos dimos cuenta que converge por ser una serie geométrica con $r < 1$

Pero en general la condición necesaria siempre siempre está ahi presente y se tiene que cumplir si la serie converge (aunque acordate que no te asegura convergencia, puede ser que se cumpla y que la serie aún así diverge)
Avatar Maggui 24 de junio 18:34
hola Flor, una pregunta, por qué comparas 2^n+ n^2 con 2^n? o sea por qué se compara con 2^n y no otro numero?
Avatar Flor Profesor 25 de junio 09:26
@Maggui Hola Maggi! Porque fijate que, nosotros cuando nos imaginamos que va a pasar cuando $n$ sea muuuuy grande, pensamos en "quién manda"... en el denominador $2^n$ le recontra gana a cualquier polinomio, como $n^2$. Acordate de sucesiones que, tener la $n$ en el exponente le gana a los polinomios (o sea, "es el que manda") y a su vez el que le ganaba a todos era $n!$. Entonces, cuando $n$ sea muy grande, ese $n^2$ va a ser despreciable ahí sumando, asi que va a ser casi como tener únicamente $2^n$. 
Avatar Leon 20 de junio 15:04
buenas, una pregunta, no se podria usar el criterio de paso al limite de una? sin tener que usar el de comparación directa antes
Avatar Flor Profesor 21 de junio 09:37
@Leon Hola León! Sisi, con el criterio del paso al límite también lo podés justificar, sale por cualquiera de los dos :)
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse