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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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7. Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
b) $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+100}$

Respuesta

No lo aclaré en el anterior item, pero si o si lo tengo que avisar ahora: Para resolver este ejercicio es clave que primero hayas visto la clase de Series alternadas ;)

Arrancamos estudiando convergencia absoluta:

$\sum_{n=0}^{\infty}|(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+100}| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+100}$

Esta serie se va a comportar igual que:

$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+100} \approx  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

Y esta serie sabemos que diverge, por ser una serie $p$ con $p \leq 1$

Por lo tanto, por ahora podemos asegurar que nuestra serie no converge absolutamente.

Estudiamos ahora convergencia condicional usando el criterio de Leibniz. Para eso reescribimos nuestra serie así:

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot (-1) \frac{\sqrt{n}}{n+100} = -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{\sqrt{n}}{n+100}$

Ahora podemos estudiar convergencia condicional de la serie que nos quedó usando Leibniz, donde en este caso $a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+100}$. Veamos si se cumplen las dos condiciones:

-> $\lim_{n \to infty} \frac{\sqrt{n}}{n+100} = 0$ ✔️

-> $a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+100}$ es decreciente

Como vimos en clase, para probar esto primero calculamos la derivada, nos queda:

$\frac{\frac{1}{2 \sqrt{n}} \cdot (n+100) - \sqrt{n}}{(n+100)^2}$

Escribimos esto como una única fracción, asi podemos ver más claramente el signo de la derivada.

$\frac{\frac{1}{2 \sqrt{n}} \cdot (n+100) - \sqrt{n}}{(n+100)^2} = \frac{\frac{n + 100 - 2n}{2\sqrt{n}}}{(n+100)^2} = \frac{100 - n}{2\sqrt{n}(n+100)^2}$

El denominador es siempre positivo y fijate que, a partir de $n = 101$, el numerador es negativo. Con lo cual la derivada empieza a ser negativa a partir de $n = 101$. Como existe un $n_0$ a partir del cual podemos afirmar que $a_n$ es decreciente, entonces se cumple esta condición también. 

Aclaración: En la mayoría de los ejercicios que siempre aparecen, la derivada es siempre negativa y listo, $a_n$ es estrictamente decreciente. Pero, para cumplir el criterio de Leibniz, en realidad basta con que haya un $n$ a partir del cual podamos asegurar que siempre va a ser decreciente. 

Por lo tanto, nuestra serie converge condicionalmente al haber cumplido ambos items del criterio de Leibniz. 
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Avatar Juan 3 de julio 21:29
Buenas Flor, me podrías explicar cómo se hace este limite porfa?2024-07-03%2021:29:01_7313494.png
Avatar Flor Profesor 4 de julio 13:48
@Juan Hola! Fijate que si sacás factor común "el que manda" en el denominador, es decir, la $n$, te queda:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{n(1+\frac{100}{n})}$

y ahora tenés $n^{1/2}$ en el numerador y $n$ el denominador, y usando que:

$n^{1/2 - 1} = n^{-1/2} = \frac{1}{n^{1/2}}$

te queda:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/2}(1+\frac{100}{n})} = 0$

porque el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a infinito
Avatar Maggui 25 de junio 12:25
hola Flor, disculpa, pero no logro todavia entender como llegas a que la primer serie se va a comportar parecido a 1/√n... me pasa en general con todos los ejercicios, hay algun tip para saber como qué serie se va a comportar la serie original o es solo práctica?
Avatar Flor Profesor 25 de junio 13:02
@Maggui Fijate Maggi que vos tenés esta serie:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+100}$

Pienso primero quién manda en el numerador y en el denominador, para imaginarme qué va a pasar cuando $n$ sea muuuuy grandfe: En el numerador, solo tenemos $\sqrt{n}$, así que bueno, queda eso. Ahora, en el denominador manda $n$ y ese $100$ no le va a hacer ni cosquillas cuando $n$ tienda a infinito... Por eso ya empezamos a deducir que nuestra serie seguramente se comporte igual que

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n}$

y acá ya usamos reglas de potencias, fijate que:

$\frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{n^{1/2}}{n} = n^{1/2 - 1} = n^{-1/2} = \frac{1}{n^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

ufff, listo jeje! O sea que:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

Por lo tanto, nuestra serie habíamos deducido que se iba a comportar igual que  $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n}$ y después, usando reglas de potencias, vimos que era lo mismo que tener escrito $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

y ahí ya seguis, porque esta es una serie $p$ que sabes que diverge :) Así que la comparas contra esta. 
Avatar Leon 22 de junio 16:45
Buenas, por que desaparece ese (-1)? no deberia quedar el segundo termino de la multiplicacion negativo?
2024-06-22%2016:44:48_2763156.png
Avatar Flor Profesor 23 de junio 12:12
@Leon Nono, no desapareció, fijate que lo saqué de la serie como un número multiplicando (hay un signo menos ahí adelante del simbolo de sumatoria, se ve? O sea tenés toda la serie multiplicada por $-1$)
Avatar Leon 25 de junio 07:58
gracias por responder, no se como no lo vi 🤦‍♂️
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